1.2.2 Метод сглаживания по взвешенной скользящей средней.
При сглаживании по взвешенной скользящей средней на каждом участке выравнивание осуществляется по полиномам невысоких порядков. (Чаще всего используются полиномы 2-го и 3-его порядка.)
Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами, а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка.
Алгоритм сглаживания по взвешенной скользящей средней:
Для каждого активного участка подбирается полином вида
параметры которого оцениваются по методу наименьших квадратов. Начало отсчета переносится в середину активного участка.
Сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a0 подобранного полинома. При этом нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, т.к. они будут одинаковыми для каждого активного участка. Причем при сглаживании по полиному к-ой нечетной степени весовые коэффициенты будут такими же, как при сглаживании по полиному (к-1) степени. В таблице 1 представлены весовые коэффициенты при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка (в зависимости от длины интервала сглаживания).
Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть отражены симметрично.
Таблица 1
Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка
Длина интервала сглаживания |
Весовые коэффициенты |
5 |
1/35[-3,+12,+17] |
7 |
1/21[-2,+3,+6,+7] |
9 |
1/231[-21,+14,+39,+54,+59] |
11 |
1/429[-36,+9,+44,+69,+84,+89] |
13 |
1/143[-11, 0, +9,+16,+21,+24,+25] |
С
учетом весов согласно таблице 2.1, для
сглаживания по 5-членной взвешенной
скользящей средней центральное значение
на каждом активном участке
,
будет оцениваться по формуле:
.
(1.2.6)
Основные свойства приведенных весов следующие:
1) Веса симметричны относительно центрального уровня.
2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.
3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет
сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.
ПРИМЕР 1.
Сгладить приведенный ниже исходный временной ряд по методу 5-тичленных скользящих средних (простой и взвешенной).
Средняя зарплата по заводу за 12 месяцев 2009г. (т.р.):
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
yt |
10,3 |
14,3 |
7,7 |
15,8 |
14,4 |
16,7 |
15,3 |
20,2 |
17,1 |
7,7 |
15,3 |
16,3 |
Решение:
Результаты расчетов по формулам (1.2.1) и (1.2.6) представлены в таблице 2.3.
Таблица 2
Результаты расчетов по методу скользящих средних
t |
yt |
|
|
1. январь |
10,3 |
- |
- |
2. февраль |
14,3 |
- |
- |
3. март |
7,7 |
12,5 |
11,9 |
4. апрель |
15,8 |
13,78 |
12,6 |
5. май |
14,4 |
13,98 |
16,2 |
6. июнь |
16,7 |
16,48 |
15,2 |
7. июль |
15,3 |
16,74 |
17,4 |
8. август |
20,2 |
15,4 |
18,8 |
9. сентябрь |
17,1 |
15,12 |
15,2 |
10. октябрь |
7,7 |
15,32 |
11,7 |
11. ноябрь |
15,3 |
- |
- |
12. декабрь |
16,3 |
- |
- |
Диаграмма средней зарплаты на заводе на основе исходных данных за 12 месяцев
Сглаживание по простой 5-тичленной скользящей средней:
=
(10,3+14,3+7,7+15,8+14,4)/5=12,5;
=
(14,3+7,7+15,8+14,4+16,7)/5=
13,78
и т.д.
Диаграмма средней зарплаты полученная путем сглаживания исходных данным по простой 5-тичленной скользящей средней
Сглаживание по 5-тичленной взвешенной скользящей средней:
=
(1/35)* (-3*10,3+12*14,3+17*7,7+12*15,8-3*14,4)
=11,9;
=
(1/35)* (-3*14,3+12*7,7+17*15,8+12*14,4-3*16,7)
=12,6 и т.д.
Диаграмма средней зарплаты полученная путем сглаживания исходных данным по 5-тичленной взвешенной скользящей средней
На основе проведённых расчётов построены две диаграммы, анализируя их можно сделать вывод о том что первый способ сглаживания, по простой 5-тичленной скользящей средней, дал нам более сглаженную диаграмму сглаживающую пики исхолной диаграммы и как следствие этого она представляем большую погрешность, чем вторая диаграмма на которой пики исходной диаграммы можно отследить. Следовательно сглаживание по 5-тичленной взвешенной скользящей средне наиболее точно и полученные результаты наиболее интересны нам.