3.2 Произведение -веерных классов Фиттинга.
Лемма
15.
Пусть
и
-
-классы
Фиттинга с -направлением
,
и
-
внутренние
-спутники
и
соответственно. Если
с -спутником
таким, что
,
для всех
и
для всех
,
то
и
является внутренним
-спутником
класса Фиттинга
.
Доказательство:
Пусть
.
Допустим, что
.
Пусть
и группа
наименьшего порядка с таким свойством.
Тогда
– комонолитическая группа с комонолитом
.
Из
следует, что
.
Допустим, что
является
- группой. Тогда
и по лемме 14 п. 2)
,
что невозможно. Следовательно,
-
-группа.
Из
следует, что
.
Пусть
.
Тогда
для всех
и
для всех
.
Следовательно,
.
Получили противоречие.
Пусть
.
Тогда
,
и
.
Отсюда следует, что
для любого
.
Тогда по лемме 14 п. 3) имеем
.
Получили противоречие. Лемма доказана.
Теорема
13.
Пусть
и
-
-классы
Фиттинга с внутренними -спутниками
и
соответственно и с
-направлением
таким, что
.
Тогда
является
-веерным
классом Фиттинга с направлением
и с внутренним
-спутником
таким, что
,
для всех
и
для всех
.
Доказательство:
Пусть
.
Пусть
,
причем
,
для любого
,
для всех
.
Покажем что
.
а)
Покажем, что
.
Так как
,
,
следовательно,
,
следовательно,
б)
Допустим, что
.
Пусть
,
-группа
наименьшего порядка с таким свойством.
Тогда по лемме
Ц*
комонолитична с комонолитом
.
Так как
,
то
,
для всех
,
.
Так как
,
,
то
(по определению -радикала группы
).
Пусть
.
Тогда
,
следовательно,
.
По условию,
,
следовательно,
для всех
,
следовательно,
.
По лемме
*
.
Так как группа
комонолитична, то
и, значит,
.
Поэтому
.
Из
и
следует, что
и, значит,
.
Поэтому
и
.
Из
следует, что
.
Допустим, что
.
Тогда
.
Так как
,
то по лемме 14 п. 1)
.
Получили противоречие. Следовательно,
.
Из
следует, что
.
Тогда для любого
имеем
и, значит,
.
Поэтому
для любого
.
В силу леммы
10
можем считать, что
.
Из
,
следует, что
.
Тогда
,
и, значит,
.
Получили противоречие. Следовательно,
.
Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть и - -полные классы Фиттинга с внутренними -спутниками и соответственно. Тогда является -полным классом Фиттинга с внутренним -спутником таким, что , для всех и для всех .
Следствие 3. Пусть и - -локальные классы Фиттинга с внутренними -спутниками и соответственно. Тогда является -локальным классом Фиттинга с внутренним -спутником таким, что , для всех и для всех .