Знакопеременные ряды.
Определение: Ряд
(4) называется знакопеременным, если
среди его членов имеются как положительные,
так и отрицательные.
Теорема 1:
Если знакопеременный
ряд (4) таков, что ряд, составленный из
абсолютных значений его членов
(4.1) сходится, то ряд (4) называется
абсолютно сходящимся
Теорема 2:
Если знакопеременный ряд (4) сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов.
Теорема 3:
Если (4) сходится условно, то какое бы число А мы ни задали можно так переставить члены ряда, что его сумма в точности будет равна А.
Можно даже так переставить члены этого ряда, что ряд, полученный после перестановки, будет расходиться.
Функциональные ряды.
Определение: Ряды
вида
(5)
(
,
D-
области определения); называются
функциональными.
-
общий член ряда.
-
частная сумма ряда.
S(x) называется суммой функционального ряда, если существует предел
для любого
.
Определение: Ряд
(5) называется мажорируемым на [
],
если
такой
сходящийся знакоположительный числовой
ряд
,что
для любого x
[
]
выполняется
.
Определение: Ряд
(5) называется равномерно сходящимся на
[
],
если для любого
,
такое что, как только n>N
выполняется
.
Степенные ряды.
Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов, и имеют вид:
(6)
где
const
или
- частный случай
(6.1),
когда ряд расписан
по степеням
.
Суммой степенного
ряда называется функция f(x)=
(*), если этот предел существует.
Теорема 1: Если f(x) непрерывная функция, являющаяся пределом (*),
то коэффициенты ряда (6) для f(x) определены единственным образом (однозначно).
Теорема 2: Если f(x) непрерывная функция на [ ], то ряд (6) можно почленно интегрировать, причем сумма интегралов от членов ряда будет равна интегралу от суммы ряда.
Теорема 3: Сходящиеся степенные ряды можно почленно дифференцировать, причем полученный ряд будет сходиться к дифференцируемой сумме.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Ранее была выведена формула Тейлора для непрерывной функции:
f(x)
= f(
)
+
f
+
f
+...+
f
+R
(x)
(7)
R
(x)
=
(
),
0<
<1,
остаточный член в форме Лагранжа;
и формула Маклорена.
f(x)
= f(0)
+
+
+...+
+R
(x)
Если
,
то вместо формул Тейлора и Маклорена
получим разложение
f(x) в ряды Тейлора и Маклорена, которые сходятся к f(x), когда
R
(x)
= 0, для любого x
[
]
(**)
Доказательство (**) требует сложного математического аппарата.
Однако для большинства элементарных функций, рассматриваемых
математическим анализом область сходимости ряда (7) формально
написанного для f(x) совпадает с областью, для которой выполняется (**).
Область сходимости степенного ряда.
Определение: Множество x, для которых выполняется
называется областью
сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля:
1)Если степенной
ряд (6) сходится при некотором значении
,
то он
абсолютно сходится
для любого
.
2)Если степенной
ряд (6) расходится, при некотором значении
*,
то он
расходится для
любого x,
.
Из теоремы следует, что областью сходимости степенного ряда является
интервал с центром
в начале координат обозначенный (-R;R),
-
<x<
.
Определение радиуса сходимости степенного ряда с помощью
признака Даламбера.
=
Чтобы ряд сходился
необходимо
В концевых точках
сходимость степенного ряда проверяется
отдельно.
Определение интервала сходимости степенного ряда на основании
радикального признака Коши.
=
=
=
;
Пример 1.
Найти радиус
сходимости степенного ряда
.
=
=
=
R=
Значит, ряд сходится на всей числовой оси.
Пример 2.
=
=
,
R=
=0
ряд
расходится везде, кроме x=0.
Пример 3.
=
=
=
=
=
=
=
- область сходимости.
Пример 4.
Найти область сходимости.
=
=
=
=
Исследуем концевые точки:
а) Подставим x=
в исходный ряд, получим
=
- ряд знакочередующийся, члены ряда
убывают (
)
.
по
признаку Лейбница ряд сходится.
б) Подставим x
=
в исходный ряд.
=
- ряд знакоположительный.
По интегральному признаку Коши:
ряд расходится.
Ответ: Область
сходимости ряда
Пример 5.
Найти сумму ряда,
,
оценить остаток с точностью до 0,001.
а) Ряд знакочередующийся, по т. Лейбница сходится, и при вычислении суммы остаток будет меньше первого отброшенного члена.
заданную
точность обеспечит сумма 31 члена ряда
-
.
Для знакоположительных рядов остаток оценивается с помощью интегрального признака Коши.
Пример 6.
Найти сумму ряда
,
оценить остаток с точностью до 0,001.
;
заданную точность
обеспечит сумма 1000 первых членов ряда
-
.