11. Коливання функцій на множині і в точці. Неперервність функції за Бером. Критерій інтегровності функцій за Ріманом.

– інтеграл Рімана – це границя інтегральних сум, тобто , . , . , d = max( ).

Теорема: для того, щоб була інтегрована за Ріманом на [a,b] необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена на [a,b], міра множини її точок розриву дорівнювала 0.

Властивості інтеграла Рімана:

1. Якщо функції φ(х) та ψ(х) інтегровані по Ріману на [a,b], то = + .

2. Якщо інтегровна на [a,b] і [b,с], то вона інтегрована на [a,с], при чому = + .

3. обмежена інтегровна за Ріманом на [a,b], то .

12. Означення інтеграла Лебега та умови його існування.

Озн. Функція називається сумовною на множині А, якщо існує послідовність простих сумовних функцій, така що існує = , при і тоді інтегралом Лебега від функції на множині А називається =

Властивості: сумовна функція (не обов’язково проста).

1. .

2. =

Дов: Нехай рівномірно збігається до , при , , тоді = = = = .

3. Адитивність. , , то тоді = +

4. Обмежена на вимірній множині А функція f(х) інтегрована на множині А. 5. Якщо на множині А і , то тоді .

6. Якщо та , , то тоді .

7. Якщо множина А вимірна і на цій множині нерівність і , то має місце нерівність

Дов: Маємо . = = . 8. якщо , то тоді .

9. та існують або не існують одночасно.

13. Основні властивості інтеграла Лебега. Зв’язок інтеграла Рімана з інтегралом Лебега. Властивості інтеграла Лебега

Теорема 1. Якщо обмежена і вимірна на множині , причому , то

.

Наслідок 1. Якщо , то .

Наслідок 2. Якщо , то .

Наслідок 3. Якщо , , то

Теорема 2. Якщо функція обмежена і вимірна на вимірній множині , яка є об’єднанням скінченної або зчисленної кількості вимірних множин , які попарно не перетинаються, то .

Теорема 3. Якщо і обмежені, вимірні і еквівалентні функції на вимірній множині , то .

Теорема 4. Якщо обмежена і вимірна на вимірній множині , то .

Теорема 5. Якщо і обмежені і вимірні функції на вимірній множині , то .

Теорема 6. Якщо обмежена і вимірна на вимірній множині , то , де .

Теорема 7. Якщо і обмежені і вимірні функції на вимірній множині і майже скрізь на множині виконується нерівність то .

Зв'язок інтеграла Рімана з інтегралом Лебега.

Т: Якщо f(x) інтегрована за Ріманом на [a;b] то вона інтегрована і за Лебегом на цьому відрізку. До того ж (𝑅) =(𝐿)

Лема:Якщо функція f(x) визначена на замкненій обмеженій множині Е, і міра множини іі точок розриву , то функція f(x) вимірна на множині Е.

Доведення: Нехайf(x), (R)- інтегрована на[a;b] (L)−інтегрована функція. Тобто існує (𝐿) . Доведемо, що інтеграли рівні. Розіб’ємо [a;b] на n- частин. Т-розбиття:

Якщо f(x) інтегрована за Лебегом на [a;b], то вона інтегрована на кожному із частинних відрізків . На кожному з відрізків знайдемо , . (f(x)- обмежена на кожному). . На підставі Т.1-ї вл.Лебега: , Просумуємо одержані нерівності в межах

Позначивши , перейдемо до границі при 𝜆(𝑇) в одержаній нерівності. Якщо f(x) (R) –інтегрована на [a;b], то границі лівої і правої частини співпадають і .Отже, рівність інтегралів доведено.

Зауважимо, що обернена теорема немає місця. Існують фун-ії інтегровані за Лебегом, але не інтегровані за Ріманом (наприклад функція Діріхле).