1.3. Дисконтированная стоимость

В финансовых расчетах возникает необходимость сравнивать между собой различные суммы денег в разные моменты времени. Например, какая величина больше: 100 тыс. руб. сегодня или 1 млн. руб. через пять лет. Дело в том, что сегодня инвестор может положить 100 тыс. руб. в банк и за пять лет они принесут ему некоторый процент. Если через пять лет 100 тыс. руб. на счете вкладчика превратятся в 1 млн. руб., то можно сказать, что 100 тысяч руб. сегодня и 1 млн. руб. через пять лет — это эквивалентные, т. е. равные во времени суммы. Если вкладчик получит больше 1 млн. руб., тогда 100 тыс. руб. сегодня «стоят» больше 1 млн. руб. через пять лет.

Чтобы сравнить суммы денег во времени, их необходимо привести к единому временному знаменателю. В практике финансовых расчетов принято приводить суммы средств, которые получит инвестор, к сегодняшнему дню, т. е. начальной точке отсчета. Данную задачу решают (при начислении сложного процента) с помощью формулы (1.10). Она получается из формулы (1.4):

. (1.10)

Формула (1.10) называется формулой дисконтированной или приведенной стоимости. P_п — это будущая стоимость, P — дисконтированная или приведенная стоимость (в литературе в качестве синонимов используют также термины сегодняшняя, настоящая, текущая стоимость).

При начислении сложного процента т раз в год формула (1.10) принимает вид:

, (1.11)

а для непрерывно начисляемого процента:

. (1.12)

На основе формул (1.1) и (1.2) получаем соответственно формулы дисконтированной стоимости для простого процента:

, (1.13)

. (1.14)

1.4. Определение периода начисления процентов

На практике возникают вопросы определения периода времени, которое потребуется для увеличения суммы Р до значения Р_n при начислении процента r.

Для простого процента из формулы (1.1) получим:

. (1.15)

Из формулы(1.2) период t будет равен:

(1.16)

На основе формулы (1.4) период времени инвестирования равен:

. (1.17)

1.4. Определение будущей стоимости потока платежей

Допустим, что инвестор в конце каждого года в течение определенного периода времени получает платежи, которые не являются одинаковыми. Если он будут инвестировать сумму каждого платежа на время до окончания данного периода, то по его завершении он получит некоторую сумму денег, которую называют будущей стоимостью потока платежей.

Будущую стоимость потока платежей можно определить по формуле:

, (1.18)

где C_t – сумма платежа в году t,

n- количество лет, в течение которых производятся выплаты;

r – процент, под который инвестируется сумма С_t.

1.5. Аннуитет

Аннуитет — это поток одинаковых по сумме платежей, которые осуществляются с равной периодичностью. (В качестве синонима также используется термин рента). Если платежи осуществляются в конце каждого периода, такой аннуитет называется отложенным. Если платежи осуществляются в начале каждого периода, то это немедленный аннуитет.

Определить будущую стоимость аннуитета можно с помощью формулы (1.18). Однако ее можно привести к более удобному виду, так как величина каждого платежа является одинаковой. Умножим обе части уравнения (1.18) на (1 + r) и вычтем полученный результат из уравнения (1.18). Получим:

или

. (1.19)

Преобразуем формулу (1.19), чтобы получить значение С:

. (1.20)

Данную формулу можно использовать, чтобы определить размер ежегодных отчислений для формирования к определенному моменту времени фонда денежных средств требуемого размера, например, пенсионного фонда или фонда по выкупу предприятием своих облигаций.

Если условия аннуитета предусматривают осуществление платежей m раз в год, то формула (1.18) примет вид:

, (1.21)

где С - величина выплаты за год.

Умножим обе части уравнения (1.21) на и вычтем результат из уравнения (1.21). После преобразования получим:

. (1.22)

Сложные проценты могут начисляться m в течение года раз, а платежи по аннуитету осуществляться только в конце года. Это означает, что проценты по первому платежу начисляются с начала второго года и осуществляется т раз в год; по второму платежу — с начала третьего года и также осуществляется т раз в год и т. д. В этом случае будущая стоимость аннуитета равна:

. (1.23)

Умножим обе части уравнения (1.23) на и вычтем результат из уравнения (1.23). После преобразования получим:

. (1.24)

Приведенная стоимость аннуитета представляет собой будущую стоимость аннуитета, дисконтированную к моменту времени его учреждения.

Приведенная стоимость аннуитета при начислении процента один раз в год:

или

. (1.25)

Приведенная стоимость аннуитета при осуществлении выплат m раз в год:

. (1.26)

Приведенная стоимость аннуитета при начислении процента m раз в год:

. (1.27)

Вечная рента предполагает, что платежи будут осуществляться всегда. Будущую стоимость такого аннуитета определить невозможно, так как она не являет конечной величиной. Однако можно рассчитать приведенную стоимость вечной ренты, воспользовавшись формулой (1.25). Поскольку для такого аннуитета п , то она принимает вид:

. (1.28)