Тема 1. Основы финансовой математики

1.1. Простые проценты

Финансовые расчеты могут осуществляться на основе простого или сложного процента. Простой процент — это начисление процента только на первоначально инвестированную сумму. Например, в начале года инвестор размещает на счете в банке сумму Р под процент r. Через год он получит сумму Р₁, которая равна первоначально инвестированным средствам плюс начисленные проценты, или

P₁ = Р + Р·r = Р(1 + r).

(Чтобы сделать формулы более компактными, начисляемый процент берется сразу в десятичных долях.)

Через два года сумма на счете составит:

Р₂ = Р + Р·r + Р·r = Р(1 + 2·r)

Аналогичным образом можно представить сумму Р_n, которую вкладчик получит через n лет:

(1.1)

где: Р_n — будущая стоимость;

Р — сегодняшняя стоимость.

Если простой процент начисляется в течение периода времени, которое меньше года, формула (1.1) принимает вид:

, (1.2)

где t – количество дней начисления процентов;

База – временная база для начисления процентов, представляет собой принятое число дней в году; может быть равна 360 или 365 дням в зависимости от условий финансовой операции.

Если период начисления процентов измеряется в месяцах, то формулу (1.2) можно представить следующим образом:

, (1.3)

где: а — количество месяцев, за которые начисляется процент.

1.2. Сложные проценты

Сложный процент — это процент, который начисляется на первоначально инвестированную сумму и начисленные в предыдущие периоды проценты Отличие результатов для сложного и простого процентов возникает только со второго периода начисления. Так, при начислении в банке сложного процента раз в год вкладчик в конце года получит сумму:

P₁=P(1+r).

Однако в конце второго года его капитал возрастет до:

.

В конце третьего года он составит:

.

Аналогичным образом можно показать, что через n лет сумма на счете вырастет до величины:

. (1.4)

Сложный процент может начисляться чаще, чем один раз в год, например, раз в полгода, квартал, месяц и т. д. В этом случае формула (1.4) принимает вид:

, (1.5)

где m — периодичность начисления процента в течение года.

Чем чаще периодичность начисления сложного процента, тем большую сумму получит инвестор за тот же период времени при одинаковой годовой процентной ставке.

Сложный процент может начисляться очень часто. Если периодичность начисления процентов стремиться к бесконечности (m), то мы получим непрерывное начисление процентов. Несмотря на то, что логически непросто представить себе частоту начисления процентов, равную бесконечности, математически возможно определить ту сумму средств, которую получит инвестор, если разместит деньги на условиях непрерывно начисляемого процента. Формула для непрерывно начисляемого процента имеет следующий вид:

, (1.6)

где r*- непрерывно начисляемый процент.

В практике финансового рынка процент, начисляемый по активу, задают как простой процент в расчете на год. Однако если в рамках года по активу предусмотрено начисление сложного процента, то общий результат, который получит инвестор, будет выше декларируемого. Чтобы его определить необходимо рассчитать эффективный или реальный процент.

Эффективный (реальный) процент — это процент, который полу чается по итогам года при начислении сложного процента в рамках года.

Эффективный процент можно определить из следующего соотношения:

.

Тогда:

. (1.7)

В финансовых расчетах может возникнуть необходимость найти эквивалентность между непрерывно начисляемым процентом и процентом, начисляемым т раз в год. Например, в формулах определения курсовой стоимости опциона используется непрерывно начисляемый процент. В то же время на финансовом рынке инвесторы оперируют главным образом ставками, предполагающими начисление процента раз в год, полгода, квартал и месяц.

Эквивалентность между двумя видами процентов можно найти, приравняв суммы, получаемые с учетом непрерывно начисляемого процента и начисления процента т раз в год, а именно:

Отсюда:

. (1.8)

В ряде случаев возникает ситуация, когда начисление процентов включает и сложный, и простой проценты. Например, средства вкладчика находятся на счете в банке 5 лет и 2 месяца. Проценты капитализируются (т. е. присоединяются к основной сумме счета, на которую начисляется процент) в конце каждого года. В течение года начисляется простой процент. Для такого случая сумму, которую получит инвестор, можно рассчитать по следующей формуле:

, (1.9)

где n – целое число лет;

t – число дней в дробной части года.