54. Графич метод реш-я задач нлп.
Реш-ся как и в ЛП. Строится ОДР. Придается целевой ф-ции пост знач-е const. Опред-ся линия уровня.
x1>=0,
x2>=0
f=2x1+x2(max)
r=3
f=0
x2=-2x1
k1=-2
Находим ур-е ОС:
X2=k2*x1
K1*k2=-1 усл-е перпендик-ти
-2k2=-1 K2=1/2 X2=1/2x1
x2=1/2x1
x1*=1,2
x2*=0,6
f max=2*1/2 +0,6 =3
Граф метод ограничен тем, что применим для случая 2 переменных, простейших случ 3 переменных.
55.Метод Лагранжа решения задач нлп.
Точка усл экстремума х2=х12
Х2’=2х1=0, х1=0, х2=0, х*=(0,0)
Доп огранич-е: х1=1 Х2max=12=1
Чтобы найти точку усл экстр ф-ции, строится ф-ция Лагранжа, учит-ющая доп огранич-я. Метод применим, когда с-ма огр-ий предст собой рав-во. Целевая ф-ция непрер, диффер-ма, им производную по крайней мере 2 порядка. На переменные не наклад-ся усл неотрицат-ти, целочисл-ти.
Ф-ция Лагранжа строится, чтобы усл экстр заменить на безусл.
В
с-му орг-ий
вводим столько множ-лей λi,
сколько равенств. Если i=1,…,m,
то λ1,
λ2,
…, λm.
Ф-ция Лагранжа запис-ся след обр:
L(X1,X2,X3,..Xn,λ1,λ2,…,λm)=f(x1,x2,..,xn)+(m,i=1)∑λi(bi-φi(x1,x2,…,xn))
Найти частные производные ф-ции Лагранжа по всем переменным, приравнять к 0. Решить с-му ур-ий, опуская множ-ли λi. В рез получим стационарную точку усо экстр. Чтобы опред-ть в ней max/min, надо найти 2ой диффер-л ф-ции Лагранжа по ф-ле:
Если
>0,
то им min
Если <0, то им max
Если
,
то надо провести доп расчеты, кот в итоге
приведут к отсутствию реш-я
56. Градиентный метод реш-я задач нлп.
В
ОДР выбир-ся произвол точка х0.
Если их нее переместить по разным
направл-ям на одинак расстояние, то
приращ-е цел ф-ции будет неодинак. Вектор
с координатами частных производных цел
ф-ции наз градиентом.
В каждой точке свой градиент.
grad
f=(0,0,…,0)X0
Им помлед-ть точек x0<x1<x2<x3<…<Cопт
Точка опт достигается за бесконечное число шагов, иногда за конечное.
Пример.
Определить параметр λ из усл перпендик-ти линии ур.
(grad f)X0+(grad f)X1=0
F=x12+x22-2x1-2x2(min)
X0=(1,3)
Grad f=(2x1-2, 2x2-2)(1,3)=(0,4)
57. Метод искусств базиса реш-я задач лп симплекс методом.
Если с-ма огр-ий предст-ся в виде равенств, то с пом балансовых переменных, кот практически равны 0, задача предст-ся в канонич форме, и балансовые искусств переменные приним-ся за базисные.
Х1+2х2=8 4х1+3х2=17
Х1>=0 x2>=0
F(x)=2x1+3x2(max)
С искусств переменными:
X1+2x2+x3=8 4x1+3x2+x4=17
Xj>=0, j=1,2,3,4
F(x)=2x1+3x2-m(x3+x4)(max)
m-достаточно большое число
Баланс переменные:
Х3=8-х1-2х2 х4=17-4х1-3х2
Строит исх табл преобразований, где одной индексной строкой опред-ем эл-ты, не связ с m, а 2ой – эл-ты, связ с искусств перем.
При переходе искусств баз переем в своб столбей, соотв своб переем, опускаются.
БП |
1 |
СП |
-х1 |
||
Х2 |
4 |
½ |
Х4 |
5 |
5/2 |
f |
12 |
-1/2 |
БП |
1 |
Х2 |
3 |
Х1 |
2 |
f |
13 |
F(x*)=2x1+3x2-m(8-x1-2x2+17-4x1-3x2)=2x1+3x2-25M+5Mx1+5Mx2(max)=13
1. Предмет и задачи матпро. Постановка общей задачи МП.
2. Различные формы записи ЗЛП (общая, каноническая, симметрическая)
3. Геометрическая интерпретация целевой функции и ограничения ЗЛП. Геометрическая формулировка ЗЛП.
4. Графический метод решения ЗЛП.
5. Опорные планы ЗЛП. Соответствие между опорными планами и вершинами многогранника планов.
6. Основная теорема ЛП. Принципиальная схема решения ЗЛП, вытекающая из этой теоремы.
7. Симплексный метод решения ЗЛП. Общая идея симплекс-метода.
8. Признак оптимальности опорного плана ЗЛП.
9. Нахождение начального опорного плана ЗЛП.
10. Нахождение оптимального опорного плана ЗЛП.
11. Признак неограниченности целевой функции на множестве планов и геометрическая иллюстрация.
12. Признак бесконечности множества оптимальных планов и геометрическая иллюстрация.
13. Признак неразрешимости ЗЛП и геометрическая иллюстрация.
14. Алгоритм симплекс-метода.
15. Понятие двойственности в ЛП. Симметричные двойственные задачи и их экономическая интерпретация.
16. Несимметричные двойственные задачи. Связь между элементами моделей задач двойственной пары. Соответствие между переменными двойственных задач.
17.теорема двойственности. Нах оптим плана двойств задачи по решению прямой
18.Теорема об оценках и ее эконом.интерпритация.
19
20.Формул-ка и матем.модель трансп. задачи(ТЗ) по критерию ст-ти. Особ-ти модели как ЗЛП.
21. ТЗ с открытой и закрытой моделью. Преобразование открытой модели в закрытую модель.
22
23. Теорема о ранге матрицы системы ограничительных уравнений ТЗ и ее прикладное значение.
24. Циклы в транспортной таблице. Свойства циклов.
25. Способы построения нач опорного плана ТЗ (Наимен Эл-та, северо-зап угла, Фогеля)
26+27+28. Признак оптим-ти опорного плана. Оценка свободной клетки трансп.таблицы. процедура
29. Потенциалы поставщиков и потр-лей, их вычисление и экон. смысл.
30.Связь между оценками св клеток и потенциалами.
31. Алгоритм метода потенциалов.
32.Основное неравенство теории двойственности
33.Теорема существования оптимальных планов пары двойственных задач
34. 1ая теорема двойственности.
35. 2ая теорема двойств-ти и ее экон. интерпритация.
36. Теорема о сущ-ии плана трансп задачи.
37
38. Теорема о ранге матрицы ТЗ.
39. Алгоритм построения начального опорного плана ЗЛП.
40. Алгоритм построения оптимального опорного плана ЗЛП.
41
42
43. Вырожденность и ее устранение при решении задач симплекс-методом.
44. Признак бесконечности множества оптимальных планов и геометрическая иллюстрация.
45
46.Постановка и математич модель ЗЦЛП.
47.Алгоритм метода Гомори.
48.Метод ветвей и границ решения целочисленных задач.
49.Понятие о динамич прог. Особ-ти реш-я задач.
50. Задача о выборе кратчайшего пути по сети дорог и реш-е ее методом динамич прог.
51. Задача об оптим распред-ии ср-в м/у предпр-ями на расшир-е пр-ва и реш-е ее методом динамич прог.
52
53.Постановка задачи НЛП. Трудности, возник при реш-ии задач НЛП. Понятие выпуклой и вогнутой функции.
54.Метод Лагранжа решения задач НЛП.
55. Графич метод реш-я задач НЛП.
56. Градиентный метод реш-я задач НЛП.
57. Метод искусств базиса реш-я задач ЛП симплекс методом.