3.1. Модели потоков событий
3.1.1. Простейший поток отказов
Существует множество математических моделей потоков событий. Наиболее часто при решении задач надежности восстанавливаемой аппаратуры используют простейший поток отказов [3.1, 3.2, 3.3 , 3.4].
Простейший поток отказов удовлетворяет одновременно трем условиям: стационарности, ординарности, отсутствию последействия.
Стационарность случайного потока событий (времени возникновения отказов) означает, что на любом промежутке времени Δti вероятность возникновения n отказов зависит только от значения n и величины промежутка Δti, и не зависит от сдвига по оси времени. Следовательно, при Δti = Δti+1 = Δti+m вероятность появления n отказов по всем интервалам одинакова.
Pn (Δti)= Pn(Δti+1)= … = Pn(Δti+m). (3.1)
Условие стационарности означает, что параметр потока отказов
ω(t) = λ = const.
Ординарность потока означает невозможность появления в один и тот же момент времени более одного отказа, то есть
lim Pn(Δt) = 0 (для n >1) . (3.2)
Δt→0
Отсутствие последействия означает, что вероятность наступления n отказов в течение промежутка Δti не зависит от того, сколько было отказов, и как они распределялись до этого промежутка времени. Следовательно, факт отказа любого элемента в системе не приведет к изменению характеристик (работоспособности) других элементов системы, если даже система и отказала из-за какого-то элемента.
Если отказы элементов происходят мгновенно, отказ любого элемента приводит к отказу всей системы, старение элементов отсутствует (λ = const), то поток отказов в системе можно считать простейшим.
Свойства простейшего потока
1. Случайные события, образующие простейший поток, распределены по закону Пуассона [3.1, 3.2]:
,
при n
0, (3.3)
где Pn(t) - вероятность возникновения в течение времени t ровно n отказов, λ – параметр распределения, совпадающий с параметром потока событий.
2. Если в выражении
(3.3) принять n
= 0, то получим
P(t)
- вероятность безотказной работы
объекта за время t
при интенсивности отказов λ = const,
которая определяется так:
.
Таким образом, при пуассоновском потоке отказов промежуток времени между отказами подчиняется экспоненциальному распределению.
3. Среднее число отказов на отрезке времени [0, t] - W(t) = λt.
3.1.2. Потоки Эрланга
Нарушение условий стационарности или наличие последействия приводит к непростейшим потокам событий (отказов). Например, к таким потокам относятся потоки Эрланга к -го порядка, которые возникают при «просеивании» простейшего потока. Поток Эрланга к -го порядка - поток, получающийся в результате сохранения каждого к-го события (отказа) в простейшем потоке. При к = 1 поток Эрланга – простейший.
Дифференциальный закон распределения появления события в потоке Эрланга имеет вид:
,
(3.4)
где λ – интенсивность простейшего потока отказов.
Выражение (3.4) отвечает гамма-расределению ( см. п. 3.3.3).
Интенсивность потока Эрланга
.
(3.5)
Математическое ожидание времени между появлениями событий:
.
(3.6)
Дисперсия времени между событиями:
.
(3.7)
Можно использовать модели - потоки Эрланга к-го порядка при рассмотрении потоков отказов в резервированной системе ( см. раздел 4) с кратностью резервирования k - 1.