Задача 2.
Используя условия соответствующего варианта лабораторной работы (вариант 4) №1 постройте модель парной нелинейной регрессии наилучшего качества и рассчитайте по ней прогноз.
№п/п |
Расходы на продовольственные товары на душу населения , тыс.руб. |
Денежные доходы на душу населения, млн.руб. |
i |
у |
х |
1 |
301,5 |
6,3 |
2 |
284,3 |
7,3 |
3 |
243,1 |
5,1 |
4 |
312,3 |
6,4 |
5 |
329,1 |
9,4 |
6 |
315,8 |
8,8 |
7 |
281,7 |
7,1 |
8 |
282,3 |
6 |
9 |
201,5 |
4,3 |
10 |
367,6 |
9,8 |
11 |
300,0 |
7,3 |
12 |
312,6 |
7,6 |
13 |
328,4 |
8,3 |
14 |
348,3 |
9,2 |
Решение.
Подберем наилучшую нелинейную форму связи между результативным и независимым фактором с помощью построения диаграммы рассеяния.
Исходя из полученных результатов можно предположить, что лучше всего описывает зависимость расходов на продовольственные товары на душу населения от денежных доходов на душу населения экспоненциальная модель (максимальная величина R²=0,854
Также построим уравнения нелинейной регрессии с помощью функции АНАЛИЗ ДАННЫХ
Для построения моделей сделаем расчет
y |
x |
Х*Х |
1/Х |
LnY |
LnX |
301,5 |
6,3 |
39,69 |
0,1587 |
5,70877 |
1,84055 |
284,3 |
7,3 |
53,29 |
0,1369 |
5,65003 |
1,987874 |
243,1 |
5,1 |
26,01 |
0,1961 |
5,493473 |
1,629241 |
312,3 |
6,4 |
40,96 |
0,1563 |
5,743964 |
1,856298 |
329,1 |
9,4 |
88,36 |
0,1064 |
5,796362 |
2,24071 |
315,8 |
8,8 |
77,44 |
0,1136 |
5,755109 |
2,174752 |
281,7 |
7,1 |
50,41 |
0,1408 |
5,640843 |
1,960095 |
282,3 |
6 |
36 |
0,1667 |
5,64297 |
1,791759 |
201,5 |
4,3 |
18,49 |
0,2325 |
5,305789 |
1,458615 |
367,6 |
9,8 |
96,04 |
0,102 |
5,906995 |
2,282382 |
300 |
7,3 |
53,29 |
0,1369 |
5,703782 |
1,987874 |
312,6 |
7,6 |
57,76 |
0,1315 |
5,744924 |
2,028148 |
328,4 |
8,3 |
68,89 |
0,1205 |
5,794232 |
2,116256 |
348,3 |
9,2 |
84,64 |
0,1087 |
5,853064 |
2,219203 |
Регрессионный анализ
Логарифмическая модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,924108 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,853976 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,841808 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
16,7104 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
19596,48 |
19596,48 |
70,17854 |
2,34E-06 |
|
|
|
Остаток |
12 |
3350,85 |
279,2375 |
|
|
|
|
|
Итого |
13 |
22947,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
-20,014 |
38,53247 |
-0,51941 |
0,612923 |
-103,969 |
63,94102 |
-103,969 |
63,94102 |
Переменная X 1 |
162,7887 |
19,43221 |
8,377263 |
2,34E-06 |
120,4496 |
205,1279 |
120,4496 |
205,1279 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полиномиальная модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,92144 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,849052 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,821607 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
17,74532 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
2 |
19483,47 |
9741,735 |
30,93633 |
3,04E-05 |
|
|
|
Остаток |
11 |
3463,859 |
314,8962 |
|
|
|
|
|
Итого |
13 |
22947,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
6,108171 |
91,33697 |
0,066875 |
0,947881 |
-194,923 |
207,1395 |
-194,923 |
207,1395 |
Переменная X 1 |
59,37565 |
26,02579 |
2,281416 |
0,043428 |
2,093276 |
116,658 |
2,093276 |
116,658 |
Переменная X 2 |
-2,51086 |
1,795978 |
-1,39805 |
0,189651 |
-6,46378 |
1,44206 |
-6,46378 |
1,44206 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Степенная модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,920028 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,846452 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,833656 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,061809 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
0,252725 |
0,252725 |
66,15152 |
3,17E-06 |
|
|
|
Остаток |
12 |
0,045845 |
0,00382 |
|
|
|
|
|
Итого |
13 |
0,29857 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
4,544333 |
0,142526 |
31,8842 |
5,72E-13 |
4,233795 |
4,85487 |
4,233795 |
4,85487 |
Переменная X 1 |
0,584601 |
0,071877 |
8,133359 |
3,17E-06 |
0,427995 |
0,741208 |
0,427995 |
0,741208 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспоненциальная модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,891069 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,794003 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,776837 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,071592 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
0,237066 |
0,237066 |
46,25336 |
1,9E-05 |
|
|
|
Остаток |
12 |
0,061504 |
0,005125 |
|
|
|
|
|
Итого |
13 |
0,29857 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
5,090441 |
0,091035 |
55,91766 |
7,06E-16 |
4,892094 |
5,288789 |
4,892094 |
5,288789 |
Переменная X 1 |
0,082353 |
0,012109 |
6,800982 |
1,9E-05 |
0,05597 |
0,108736 |
0,05597 |
0,108736 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гиперболическая модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,929658 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,864263 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,852952 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
16,11105 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
19832,54 |
19832,54 |
76,40653 |
1,5E-06 |
|
|
|
Остаток |
12 |
3114,792 |
259,566 |
|
|
|
|
|
Итого |
13 |
22947,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
452,8659 |
17,94306 |
25,23905 |
9,09E-12 |
413,7714 |
491,9605 |
413,7714 |
491,9605 |
Переменная X 1 |
-1061,78 |
121,4697 |
-8,74108 |
1,5E-06 |
-1326,44 |
-797,117 |
-1326,44 |
-797,117 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты представим в таблице.
№п/п |
Вид уравнения |
Входной интервал У |
Входной интервал Х |
1 |
Логарифмическое Y=162,788-20,014Ln(X) tст (12,23) (-8,83) F=70,178 R²=0, 854 , уравнение удовлетворительного качества, коэффициент а1 незначим, модель хуже чем гиперболическая |
У |
Ln(X) |
2 |
Полиномиальное второй степени Y=6,108+-59,376*Х-2,511Х² tст (0,067) (2,28) (-1,398) F=30,94 R²=0, 849 , уравнение удовлетворительного качества, коэффициент а1 значим, другие коэффициенты- незначимы, модель хуже чем гиперболическая
|
У |
Х, Х² |
3 |
Степенная модель Ln Y=4,54+0,584Ln(X)
tст (31,88) (8,133) F=66,15 R²=0,846 , уравнение удовлетворительного качества, коэффициенты значимы, однако модель хуже чем гиперболическая
|
Ln(У) |
Ln(X) |
4 |
Экспоненциальная модель Ln Y=5,09+0,082X
tст (55,91) (6,80) F=26,53 R²=0, 794, уравнение удовлетворительного качества, коэффициенты значимы, однако модель хуже чем гиперболическая
|
Ln(У) |
Х |
5 |
Гиперболическая модель Y=452,8659-1061,78/х tст (25,24) (-8,74) F=76,41 R²=0,864, уравнение удовлетворительного качества, все коэффициенты значимы, R²=0,864- максимальная величина,
|
у |
1/х |
Наилучшей моделью является гиперболическая Y=452,8659-1061,78/х
, данная модель удовлетворительного качества, все коэффициенты значимы, наибольшая величина R²=0,864, поэтому данная модель наилучшим образом описывает зависимость расходов на продовольсвенные товары на душу населения от доходов на душу населения
Сделаем прогноз расходов на продовольственные товары, если денежные доходы составляют 130% от их максимального значения, то есть Х(прогн)=1,3*9,8=12,74 млн.руб.
Упрогн=452,8659-1061,78/12,74=369,52 тыс.руб.
Вывод. Для прогнозирования лучше всего подходит гиперболическая модель Y=452,8659-1061,78/х. Модель выбранная с помощью анализа R² и регрессионного анализа не совпадает, модель выбранная с помощью анализа R²- логарифмическая, однако она содержит незначимые коэффициенты.
Прогноз расходов на продовольственные товары, если денежные доходы составляют 130% от их максимального значения, то есть Х(прогн)=12,74 млн.руб.
Упрогн=452,8659-1061,78/12,74=369,52 тыс.руб.
Задача 3.
По данным 30 наблюдений постройте модель множественной регрессии удовлетворительного качества . Рассчитайте прогноз результата, если прогнозные значения независимых факторов будут составлять 89% от их среднего уровня.
№п/п |
Валовой продукт, млн.руб |
Балансовая стоимость оборудования, млн.руб. |
Объем промышленного производства, млн.руб |
Количество занятых, тыс.чел. |
i |
У |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
1 |
6429 |
44502 |
2572 |
153 |
2 |
5265 |
38390 |
1960 |
174 |
3 |
8027 |
68857 |
2162 |
241 |
4 |
3590 |
31650 |
959 |
122 |
5 |
2962 |
26353 |
894 |
88 |
6 |
5601 |
43109 |
1831 |
143 |
7 |
5603 |
40878 |
2886 |
132 |
8 |
4778 |
35776 |
1558 |
133 |
9 |
4014 |
37539 |
1432 |
116 |
10 |
6008 |
54230 |
1675 |
159 |
11 |
6190 |
50117 |
2312 |
189 |
12 |
7515 |
55941 |
2404 |
159 |
13 |
3796 |
29658 |
1180 |
85 |
14 |
7632 |
52303 |
1904 |
144 |
15 |
2907 |
19397 |
677 |
105 |
16 |
7484 |
61771 |
2476 |
168 |
17 |
9743 |
71384 |
1671 |
241 |
18 |
10652 |
72981 |
3242 |
263 |
19 |
13424 |
98853 |
3118 |
417 |
20 |
6656 |
48372 |
2350 |
175 |
21 |
5657 |
50514 |
1725 |
170 |
22 |
9651 |
67027 |
3206 |
227 |
23 |
9803 |
73278 |
2518 |
281 |
24 |
5425 |
39549 |
1959 |
150 |
25 |
3784 |
28495 |
770 |
98 |
26 |
11913 |
88151 |
2256 |
258 |
27 |
9867 |
63565 |
1918 |
229 |
28 |
4359 |
31248 |
651 |
112 |
29 |
10506 |
52097 |
2726 |
226 |
30 |
4911 |
45076 |
756 |
112 |