
- •1.2. Условия существования управления.
- •1.3. Оптимальность управления.
- •Лекция 2
- •2.1. Этапы принятия решений
- •2.2. Схема функционирования системы управления
- •2.3. Цели и критерии эффективности.
- •Лекция 3
- •3. 1. Виды критериев.
- •3.2. Многокритериальные системы.
- •3.3. Выбор критерия в состоянии неопределенности.
- •3.4. Выявление целей и критериев.
- •3.5. Особенности построения модели управляемой системы
- •4.1. Методология и психологические аспекты принятия решений
- •4.2. Системный анализ.
- •4.3. Таблицы решений.
- •Лекция 5. Принятие решений в различных условиях.
- •5.1.Принятие решений в разомкнутых системах
- •5.2. Управление в системах с обратной связью.
- •5.3. Условия внешней среды.
- •Принятие решений в условиях определенности
- •Принятие решения в условиях риска
- •Принятие решений в условиях неопределенности
- •Принятие решений в конфликтных ситуациях
- •Лекция 6. Принятие решений и информация
- •Основные характеристики информации.
- •Лекция 7. Минимизация функции одной переменной без ограничений
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Полином произвольной степени
- •1.3. Степенная функция, умноженная на экспоненциальную функцию
- •Лекция 8. 1.4. Частный случай полинома, умноженного на экспоненциальную функцию
- •1.5. Степенная функция, умноженная на экспоненциальную функцию, зависящую от полинома второй степени
- •Минимизация функции нескольких переменных без ограничений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Детализация достаточных условий экстремума.
- •Лекция 9. 2.3. Сепарабельные функции
- •2.4. Факторизованные функции
- •2.5. Сумма квадратов переменных
- •2.6. Квадратичная форма
- •2.7. Частный случай кубической формы от двух переменных
- •Частный случай кубической формы от произвольного количества переменных
- •Частный случай полинома произвольной степени от двух переменных
- •Методы условной оптимизации
- •Задача нелинейного программирования. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Глава 1. Метод неопределенного множителя Лагранжа
- •Общая постановка оптимальной задачи с одним ограничением
- •Сепарабельность целевой функции и функции – ограничения. Общий алгоритм решения
- •3. Степенные функции с одинаковыми степенями частных функций
- •2. Основная задача линейного программирования.
- •3. Геометрическая интерпретация основной задачи линейного программирования.
- •Задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами. Переход от нее к озлп и обратно
- •5. Симплекс-метод решения задач линейного программирования Алгоритм поиска опорного и оптимального решения
- •6. Табличный метод замены базисных переменных.
- •Отыскание опорного решения основной задачи линейного программирования.
- •Стационарная транспортная задача
- •Нахождение опорного плана
- •Поиск оптимального плана, метод последовательного улучшения плана для стационарной транспортной задачи
2.7. Частный случай кубической формы от двух переменных
Рассмотрим
частный
случай кубической формы от двух
переменных. Пусть
имеет следующий вид
=
.
(1)
Имеем
= 0,
(2)
= 0. (3)
Из (2) находим
выражение
,
подставляя которое в (3), получаем
- 2
+
+ 12
(
= 0,
откуда получаем
2 решения: 1)
=
,
2)
= (4
-
)(12
(
,
(4
-
)(12
(
.
Итак, имеем две стационарные точки.
Являются ли полученные стационарные
точки экстремальными и максимумами или
минимумами или не являются точками
экстремума проверим в соответствии с
п. 1.2 в зависимости от конкретных исходных
данных. Матрица Гессе имеет следующий
вид
.
1. Рассмотрим случай решения 1: = . В этом случае матрица Гессе имеет вид
.
Если
и
,
то у
будет минимум. Если
и
,
то у
будет максимум. Во всех других случаях
экстремума у
не будет.
2. Рассмотрим случай решения 2: = (4 - )(12 ( , (4 - )(12 ( . В этом случае матрица Гессе имеет вид
=
.
Если
и
,
то у
будет минимум. Если
и
,
то у
будет максимум. Во всех других случаях
экстремума у
не будет.
Заметим, что определитель матрицы Гессе в рассматриваемых двух стационарных точках отличается только знаком.
Частный случай кубической формы от произвольного количества переменных
Рассмотрим частный случай кубической формы от произвольного
количества
переменных. Пусть
имеет следующий вид
=
.
(1)
Приравнивая частные производные первого порядка от нулю, получаем следующую систему уравнений
= 0,
(2)
= 0, (3)
…
= 0, (4)
…
= 0. (5)
Перейдем к решению системы уравнений (2-5). Из (2) находим выражение через . Имеем
. (6)
Подставляя (6) в (3), получаем
.
(7)
Из (4) находим
рекуррентную формулу, выражающую
через
и
,
имеющую вид
.
(8)
Из (8) следует, что
рекуррентно выражается через
и
следующей формулой
=
.
(9)
Подставляя (9) в (5), получаем уравнение для определения , а именно,
= 0.
(10)
Легко
убедиться в том, что (10) является полиномом
степени
.
Находя из него значение
и последовательно подставляя его в
рекуррентные формулы (6) – (9), определяем
значения
.
Полиномиальное уравнение относительно (10) имеет корней, которые находятся известными методами. Исключая из них комплексные корни, получаем действительных корней. Тогда имеем наборов решений ( , ). Определение того, какой из этих наборов дает минимум или максимумом целевой функции или не является экстремумом в зависимости от конкретных исходных данных, можно произвести непосредственно перебором или в соответствии с п. 2.2.
Оптимальные задачи, как отмечалось выше, не всегда имеют решение. Приведем пример такой задачи.