2.4. Факторизованные функции

Определение. Функция называется факторизованной, если она представляется в следующем виде: = . Функции называются частными функциями факторизованной функции.

Глобальный минимум факторизованной функции достигается в точке минимума каждой из функций , в силу независимости точки глобального минимума каждой из функций , от точек глобального минимума остальных функций. Глобальный максимум факторизованной функции достигается в точке глобального максимума каждой из функций , в силу независимости точки глобального максимума каждой из функций , от точек глобального максимума остальных функций.

Это также вытекает из следующих соображений. Имеем

= ( = 0) ( =0), .

(1)

Пусть найдется одно , при котором равенство (1) выполняется за счет

. Тогда все вторые производные от по будут равны нулю и, следовательно, все главные миноры будут равны нулю, так как все элементы всех столбцов в матрице Гессе кроме столбца по будут равны нулю, т.е. экстремума в этом случае не будет. Это же утверждение будет справедливо и когда будет такое не одно, а несколько вплоть до штук. Когда их будет , все равно элементы одного столбца в матрице Гессе будут равны нулю и её определитель будет равен нулю, т.е. экстремума в этом случае также не будет.

Отсюда следует, что остается рассматривать случай, когда

= = 0, . (2)

Необходимыми и достаточными условиями того, что - точка локального минимума , являются:

1) , дифференцируема в точке ,

2) , т.е. является стационарной точкой,

3) .

Точка глобального минимума , определяется перебором точек её локального минимума.

Необходимыми и достаточными условиями того, что - точка локального максимума , являются:

1) , дифференцируема в точке ,

2) , т.е. является стационарной точкой,

3) .

Точка глобального максимума , определяется перебором точек её локального максимума.

2.5. Сумма квадратов переменных

Найдем оптимальное решение для целевой функции . Имеем

. (1)

Решением системы (1) является стационарная точка . Определитель матрицы Гессе равен , его миноры по главной диагонали равны соответственно , 2,…, . Тогда в соответствии с п. 2.2 стационарная точка является минимумом, если выполняются неравенства

, 1,…, , и - максимумом, если выполняются неравенства

, 1,…, . В остальных случаях оптимальная задача не имеет решения.

2.6. Квадратичная форма

Рассмотрим квадратичную форму + для нахождения ее минимума в . Имеем

+ = 0, .

Отсюда получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений

= - , .

Обозначим через определитель этой системы уравнений, через - определитель , в котором вместо - го столбца стоит столбец свободных членов. Тогда = ( ,…, ), где = , , является стационарной точкой. Матрица Гессе в данном конкретном случае имеет следующий вид . Является ли полученная стационарная точка экстремумом и максимумом или минимумом или не является точкой экстремума определяется в соответствии с п. 2.2.