1.3. Степенная функция, умноженная на экспоненциальную функцию
Пусть функция ) является степенной функцией, умноженной на экспоненциальную функцию со степенью в виде линейной функции, т.е.
)
=
.
Имеем
)
=
,
откуда определяются две конечные
стационарные точки:
= -
и
= 0 при
.
Вторая производная
)
от
)
равна
)
=
и в стационарной точке
= -
равна
-
)
= -
(-
,
а в стационарной точке.
= 0 при
-
)
равна 0, при
равна
.
Поэтому необходимо рассмотреть только
стационарную точку
= -
.
Рассмотрим последовательно все возможные ситуации.
1.
принимает целочисленные конечные
значения,
принимает конечные значения. В этом
случае
-
)
является конечным числом со знаком -,
если
- четное, и знаком +, если
- нечетное. Таким образом, если
- четное, то имеем максимум и, если
- нечетное, то минимум. Если же
принимает дробные конечные значения,
то
-
)
неопределенна, так как принимает
комплексные значения.
2.
.
В этом случае
-
)
является конечным числом со знаком -,
т.е. имеем максимум.
3.
.
В этом случае
-
)
является конечным числом со знаком +,
т.е. имеем минимум.
4.
,
принимает целочисленные конечные
значения. В этом случае
-
)
является конечным числом со знаком +,
если
- четное, и знаком -, если
- нечетное. Таким образом, если
- четное, то имеем минимум и, если
- нечетное, то максимум. Если же
принимает дробные конечные значения,
то
-
)
неопределенна, так как принимает
комплексные значения.
Лекция 8. 1.4. Частный случай полинома, умноженного на экспоненциальную функцию
Рассмотрим
функцию
)
следующего вида
)
= (
.
Имеем
)
=
= 0, откуда
определяются три конечные стационарные
точки:
,
при выполнении неравенства
и
при
.
Вторая производная
)
от
)
равна
)
=
+
(
.
Она в стационарной
точке
при
равна 0, при
равна
,
при
неопределенна, т.е. в точке
функция
)
не имеет экстремума.
Поэтому
остается рассмотреть возможные значения
)
в точках
=
и
=
.
В зависимости от исходных данных
корни
и
могут принимать разные значения. Имеем
следующие случаи:
1.
.
В этом случае
и
являются действительными числами. Если
)
,
то
является точкой минимума для функции
).
Если
)
,
то
является точкой максимума для функции
).
Если
)
= 0, то
не является точкой экстремума для
функции
).
Эти же выводы справедливы и для точки
.
2.
.
В этом случае
и
являются комплексными числами и они не
являются точками экстремума для функции
).
1.5. Степенная функция, умноженная на экспоненциальную функцию, зависящую от полинома второй степени
Пусть функция
)
является
степенной
функцией, умноженной на экспоненциальную
функцию со степенью в виде полинома
второй степени, т.е.
)
=
.
Имеем
)
=
= 0
= 0
= 0 , откуда
определяются три конечные стационарные
точки:
,
при
и
= 0 при
.
Вторая производная
)
от
)
равна
)
=
(
+
).
Вторая производная
)
в точке
= 0 равна 0 при
,
при
неопределенна, при
равна
,
т.е. точка
= 0 не является точкой экстремума для
).
Поэтому остается рассмотреть возможные значения ) в точках = и = . В зависимости от исходных данных корни и могут принимать разные значения. Имеем следующие случаи:
1. . В этом случае и являются действительными числами. Если ) , то является точкой минимума для функции ). Если ) , то является точкой максимума для функции ). Если ) = 0, то не является точкой экстремума для функции ). Эти же выводы справедливы и для точки .
2.
.
В этом случае
и
являются комплексными числами и они не
являются точками экстремума для функции
).