9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин

№ п/п

Примеры ПП 13

9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин

ПП 13

№24

Площадь поверхности сферы равна . Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу?

Обозначим высоту цилиндра , . По условию , .

Из : . Объем цилиндра . По смыслу задачи , т.е. . Исследуем функцию на этом интервале. Производная при , вблизи этого значения меняет знак с + на –, значит при этой высоте объем цилиндра будет наибольшим.

ПП 13

№25

Владелец фабрики установил, что если он будет продавать свои изделия по цене руб., то его годовая прибыль составит руб. Определите , при котором прибыль будет максимальной.

при , при этой цене прибыль будет максимальной.

пп 13. I. исследование функций

№ п/п

ЗАДАЧИ

ПП13.I

№1

Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции .

РЕШЕНИЕ:

Функция не определена при .

, при .

Функция возрастает при ; убывает при ; – точка минимума.

ПП13.I

№2

Найдите экстремумы функции .

, , .

Вид графика функции .

ПП13.I

№3

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы.

Р ЕШЕНИЕ:

Функция определена для . Производная функции

обращается в ноль при и , при , при , то есть в точке функция принимает минимальное значение.

ПП13.I

№4

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы.

РЕШЕНИЕ:

Производная функции .

при ,

второй множитель положителен при любых .

Знак производной совпадает со знаком :

при функция убывает; при функция возрастает,

в точках достигается максимальное ,

а в точках – минимальное значения функции .

ПП13.I

№5

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы.

РЕШЕНИЕ:

Производная функции представляет собой многочлен, который мы преобразуем следующим образом:

, откуда видно, что при любых , значит, функция возрастает для всех и экстремумов не имеет.

ПП13.I

№6

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1. , - точка пересечения с осями.

2. f (x) – непрерывна всюду вертикальных асимптот нет.

- наклонная (горизонтальная) асимптота при наклонных асимптот при нет.

3. , .

4. , .

Вид графика функции .

ПП13.I

№7

Сколько раз график функции пересекает ось ?

РЕШЕНИЕ:

Функция определена для всех ,

не обладает определенной четностью,

непериодическая.

; при и .

График функции пересекает ось в одной точке .

Построим схему.

ПП13.I

№8

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1) Область определения функции: ; эти точки являются точками разрыва функции; при функция ; при , .

2 ) Функция нечетная: . Построим график для и отобразим его нечетным образом относительно начала координат.

3) Точка пересечения с осью определяется условием

, , для всех из области определения, т.е. функция является убывающей и не имеет экстремумов.

ПП13.I

№9

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1) Функция определена всюду, кроме точки .

График функции имеет вертикальную асимптоту .

2) Точка пересечения с осями: .

3) Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:

;

является наклонной асимптотой.

4) Находим производную: . Знак производной определяется знаком дроби или произведения .

При и , а при . Интервалы возрастания: и ; интервал убывания: . В области определения функции производная существует всюду и обращается в ноль при и . При , а при . Следовательно, точка является точкой максимума. Находим значение функции при : При переходе через другую критическую точку производная знак не меняет, т.е. не является точкой экстремума.

5) Находим вторую производную . Видим, что при , интервал является областью выпуклости. также при - это тоже область выпуклости; при - это область вогнутости.

В области определения функции существует всюду; при . Так как при переходе через эту точку меняет знак, то есть абсцисса точки перегиба. Находим

График имеет вид

ПП13.I

№10

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1. Функция определена всюду, кроме точек . Точки пересечения графика с координатными осями: - точка пересечения с осями.

2. Функция нечетная, , график симметричен относительно начала координат, достаточно исследовать функцию при .

3. Точка является точкой разрыва II-рода, график функции имеет вертикальную асимптоту , , . Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы: ; , т.е., является правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя).

4. Находим производную: . Знак производной определяется знаком . При , а при и . Интервал возрастания - ; интервалы убывания - и . В области определения функции производная обращается в нуль при и . При , а при . Следовательно, точка является точкой минимума. Находим значение функции при : . При переходе через критическую точку производная знак не меняет, т.е. не является точкой экстремума.

5. Находим вторую производную . Видим, что при , на интервале график функции выпуклый вверх. При - график функции выпуклый вниз.

В области определения функции существует всюду; при . Так как при переходе через эту точку меняет знак, то есть абсцисса точки перегиба. Находим

График имеет вид:

ПП13.I

№11

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1. Так как функция периодична с основным периодом , достаточно исследовать ее поведение на промежутке, длиной равном периоду, например, на . Арктангенс определен для всех значений аргумента, поэтому областью определения сложной функции будут промежутки оси , на которых , т.е., для промежутка это будет . Для , область значений _. Точки пересечения графика с координатными осями: при котангенс не определен, точек пересечения с осью нет. Точки пересечения с осью находим, решая уравнение .

2. Четностью или нечетностью функция не обладает.

3. Точка не является точкой разрыва, так как не определена, . Поскольку на каждом периоде график лежит в конечной области плоскости , асимптот у графика существовать не может.

4. Найдем производную: . Для , , т.е., на каждом отдельном промежутке области определения функция монотонно убывает.

5. Н айдем вторую производную . Корень уравнения на - . При график функции выпуклый вниз, при - график функции выпуклый вверх. Точка графика - точка перегиба.

График имеет вид

ПП13.I

№12

Постройте график функции .

Область определения функции: , это точка бесконечного разрыва функции, для всех ; при ;

при .

П остроим схему.

ПП13.I

№13

Найдите область определения функции (ООФ) .

РЕШЕНИЕ:

ООФ определяется системой неравенств:

Введем переменную , тогда

Из двух последних неравенств следует, что . Для решения первого неравенства рассмотрим функцию . Вычислим при .

Итак, функция убывает на этом интервале, и ее значения при этом остаются положительными, так как и .

Область определения функции найдем из неравенства , которому удовлетворяют .

ПП13.I №14

Д окажите, что для .

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим функцию , . Производная , так как при , т.е. функция является убывающей и не превосходит для , т.е. , откуда .

ПП13.I №15

Найдите интервал, в котором находятся корни многочлена .

.

РЕШЕНИЕ:

Полученный квадратный трехчлен имеет положительный коэффициент у старшего члена (на графике ветви параболы направлены вверх) и отрицательный дискриминант (график не имеет точек пересечения с осью ), значит, все значения квадратного трехчлена лежат выше оси и при любых .

И з этого следует, что возрастает и имеет не более одного корня. Заметим, что , а , т.е. корень многочлена . Отметим, что корнем будет иррациональное число, так как на интервале не содержится целых чисел, которые были бы делителем свободного члена 12 исходного многочлена.

ПП13.I №16

При каких значениях уравнение имеет ровно два различных корня?

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим функции и . Абсциссы точек пересечения графиков этих функций будут решениями исходного уравнения.

И сследуем поведение : , найдем критические точки из уравнения ; значения функции в этих точках равны , ; – точка максимума, – точка минимума. Из анализа графика функции и возможных точек пересечения с видим, что исходное уравнение имеет два корня, если или .

ПП13.I №17

Для каждого действительного числа определите, сколько корней имеет многочлен .

РЕШЕНИЕ:

В ычислим . Критическими точками производной являются значения и . Вычисление производной позволяет заключить, что для и для , и сделать вывод, что в точке функция принимает минимальное значение . Таким образом, для всех .

При и многочлен имеет один корень; при график многочлена не имеет общих точек с осью и, соответственно, корней; при – два корня.

ПП13.I №18

Найдите число корней уравнения в зависимости от параметра .

РЕШЕНИЕ:

Г рафик функции пересекается с графиком в различном количестве точек в зависимости от . Области существования одного, двух, трех и четырех корней определяются геометрическим положением оси и касательными к графику функции в точках и .

, и .

Аналогично для касательной : , , где ,

, и .

В итоге получаем, что при уравнение имеет один корень; при – корней нет; при и – два корня; при – три, а при – четыре корня.

ПП13.I №19

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на .

РЕШЕНИЕ:

Из условия найдем значения и , в которых изменяется знак выражения, стоящего под знаком модуля. Функция не определена в точке . Заметим, что и не принадлежат отрезку .

тогда

Критические точки находим из условия на каждом из интервалов:

Отрезку принадлежит одна критическая точка , в которой производная не существует. Вычислим значения функции , , , , для .

ПП13.I №20

Для каждого значения параметра найдите наименьшее значение функции на отрезке .

РЕШЕНИЕ:

, точка является точкой локального минимума функции. Наименьшее значение функции достигается в этой точке, если значение принадлежит интервалу , и реализуется случай

если , то если , то

ПП13.I №21

При каких значениях функция на принимает свои наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка?

РЕШЕНИЕ:

Производная

обращается в ноль при и , . В точке функция имеет максимум, значение может принадлежать отрезку при ; для того чтобы наибольшее и наименьшее значения достигались на концах отрезка, нужно, чтобы , т.е. при условии, что , т.е. .

ПП13.I №22

Найдите число, куб которого превышает утроенный его квадрат на минимальное значение.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через искомое число, составим функцию и найдем значение , при котором принимает минимальное значение.

Производная при и . При , т.е. не удовлетворяется условие . Производная меняет знак при переходе через точку : при , при , т.е. в точке функция имеет минимум. Значит, искомое число равно двум.

ПП13.I №23

В арифметической прогрессии шестой член равен 3, а разность прогрессии больше 0,5. При каком значении разности этой прогрессии произведение первого, четвертого и пятого ее членов является наибольшим?

РЕШЕНИЕ:

По условию . Введем функцию .

Найдем значение , при котором достигает наибольшего значения. Производная при и . Так как по условию , исследуем поведение на интервале .

Наибольшего значения функция достигает при .

ПП13.I №24

Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна . При каком значении отношение длины радиуса вписанной в данный треугольник окружности к длине радиуса описанной окружности будет наибольшим?

РЕШЕНИЕ:

По условию , , .

О бозначим , .

В и , по теореме синусов для .

Введем функцию

;

;

при или , что не удовлетворяет условию, , , , . В точке функция имеет максимум

Отношение будет наибольшим и равным при .

ПП13.I №25

Прямой круговой конус с наибольшим объемом вписан в данный конус так, что вершина внутреннего конуса находится в центре основания данного конуса. Докажите, что высота внутреннего конуса составляет одну треть высоты данного конуса.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим , , , , .

 : .

S₁

, при , откуда , что не удовлетворяет условию и .

Вблизи меняет знак с + на –, значит, при объем вписанного конуса является наибольшим.

ПП13.I №26

Шоссе пересекает местность с запада на восток. В 9 км к северу от шоссе находится лагерь, а в 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к лагерю точки расположен город. Каков должен быть маршрут, чтобы добраться в город в кратчайший срок, если скорость движения по полю 8 км/час, а по шоссе – 10 км/час?

РЕШЕНИЕ:

Пусть лагерь располагается в точке , а город в точке . – кратчайший маршрут до шоссе , км, км. Где будет находиться точка ?

О бозначим расстояние через , . , .

Время движения определяется функцией . Производная обращается в ноль при , откуда . Значение , оно является наименьшим по сравнению с и , так что к шоссе нужно выйти в 12 км от лагеря на восток.

ПП13.I №27

По двум взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку движутся две автомашины со скоростями и . Определите минимальное в процессе движения расстояние между машинами, если в начальный момент времени расстояния машин от перекрестка были равны и соответственно.

Р ЕШЕНИЕ:

Пусть первая и вторая машины в начальный момент времени находятся в точках и . В процессе движения их координаты изменяются со временем по законам , .

Квадрат расстояния между машинами определяется функцией , ее производная при . Вблизи этой точки производная меняет знак с – на +, значит, в этот момент времени расстояние между машинами минимально и равно

ПП13.I №28

Автомобиль выезжает из пункта А и едет с постоянной скоростью км/час до пункта В, отстоящего от пункта А на расстояние 24,5 км. В пункте В автомобиль переходит на равнозамедленное движение, причем за каждый час его скорость уменьшается на 54 км/час, и движется так до полной остановки. Затем автомобиль сразу же поворачивает обратно и возвращается в А с постоянной скоростью . Какова должна быть скорость , чтобы автомобиль за наименьшее время проезжал путь от А до полной остановки и обратно до пункта А указанным способом?

РЕШЕНИЕ:

Вычислим время, которое затрачивает автомобиль на весь путь от А до остановки и обратно: км. , где , ,

;

,

Производная при , при и при , значит, принимает при км/час наименьшее значение.

ПП13.I №29

Требуется построить несколько одинаковых домов с общей площадью 40000 м². Затраты на постройку одного дома, имеющего м² площади, складываются из стоимости наземной части, пропорциональной , и стоимости фундамента, пропорциональной . Стоимость наземной части составляет 32% стоимости фундамента для дома площадью 1600 м². Определите, сколько нужно построить одинаковых домов, чтобы сумма затрат была наименьшей.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через число домов, по условию. Стоимость всей постройки

,

где и – коэффициенты пропорциональности, найдем их из условия при , значит, и .

Производная при .

Исследуя знак производной, можно показать, что эта точка является точкой минимума . При наименьших затратах можно построить домов.

ПП13.I №30

Между двумя портами, удаленными друг от друга на расстояние 1200 км, с постоянной скоростью курсирует теплоход. Затраты на рейс в одном направлении слагаются из двух частей. Первая часть, связанная с обслуживанием пассажиров, пропорциональна времени нахождения в пути, другая, обусловленная стоимостью топлива, пропорциональна кубу скорости движения. Найти скорость, с которой должен идти теплоход, чтобы затраты на рейс были минимальны, если известно, что при скорости 90 км/час затраты равны 11,61 тысяч рублей, причем стоимость обслуживания пассажиров составляет стоимости топлива.

РЕШЕНИЕ:

Пусть – скорость теплохода, тогда время движения в одном направлении . Затраты на рейс , , где – коэффициенты пропорциональности. Найдем их из условий и ,

.

Производная

при .

Исследуя знак производной, можно показать, что при км/час затраты на рейс будут минимальны.

ПП13.I №31

Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада делает в день 200 деталей, вторая – на деталей меньше, чем первая , а третья – на деталей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняют всей работы, а затем все три бригады, работая вместе, выполняют оставшиеся работы. На сколько деталей в день меньше должна делать вторая бригада, чем первая, чтобы вся работа была выполнена указанным способом как можно скорее?

По условию вторая бригада делает в день , а третья деталей. Обозначим общее число деталей через . Время всей работы

.

Производная

при .

Исследуя знак производной, можно убедиться, что при функция достигает минимума, и работа будет сделана за наименьшее время, если вторая бригада будет делать на 125 деталей в день меньше, чем первая.