3. Асимптоты графика функции

№ п/п

Примеры ПП 13

3. Асимптоты графика функции

ПП 13

№11.

У графика существует левая горизонтальная асимптота ( ) и не существует правой горизонтальной асимптоты.

ПП 13

№12

У графика существует правая горизонтальная асимптота ( ) и не существует левой горизонтальной асимптоты.

ПП 13

№13

У графика существуют обе горизонтальные асимптоты: - левая горизонтальная асимптота ( ),

- правая горизонтальная асимптота ( ).

ПП 13

№14

У графика обе горизонтальных асимптоты существуют и совпадают ( ). Кроме того, график функции имеет вертикальную асимптоту , поскольку , .

ПП 13

№15

К ривая имеет вертикальные асимптоты и .

ПП 13

№16

П остроим график функции без использования производной.

Преобразуем выражение: , .

График этой функции получается смещением графика на две единицы влево, на одну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой .

Прямые и являются вертикальной и горизонтальной асимптотами.

Для гиперболы с центром симметрии в точке уравнения вертикальной и горизонтальной асимптот имеют вид: и .

ПП 13

№17

Исследуйте поведение функции в точке .

, ,

, .

Прямая является вертикальной асимптотой.

ПП 13

№18

Найдите асимптоты графика функции . , , .

График имеет две несовпадающие наклонные асимптоты: левую и правую .

№ п/п

Пример ПП 13

4. Построение графиков функций

ПП 13

№19

Исследуйте функцию и постройте её график.

1. Функция определена при всех . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения и ; получаем, что ось пересекается в точке с , а ось - в точках и .

2. Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот. ,

При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределённости типа . Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение

3. Находим производную: .

Знак производной определяется знаком выражения или . Видим, что в области , при и при . Получаем, что в области функция убывает, при - возрастает и при - убывает. Находим критические точки. при ,

не существует при , . При переходе через знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. При производная не существует, значит, минимум острый. При переходе через вторую критическую точку производная меняет знак с (+) на (-) , т.е. при - максимум: . При переходе через знак производной не меняется, значит экстремума нет.

4) Находим вторую производную: . Видим, что при ; в этой области график выпуклый; при , т.е. интервал также является областью выпуклости. При , следовательно, при график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при и при . При переходе через первую точку знак не меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами , .