ПП 13

I. Исследование функций и построение графиков основные определения и формулы Графики элементарных функций

1 . Линейная функция: .

2. Квадратичная функция: .

3. Степенные функции

3.1. . 3.2. , .

3.3. Иррациональные .

Т рансцендентные функции

4. Показательная .

5. Логарифмическая .

6 . Тригонометрические функции

6.1. . 6.2. . 6.3. . 6.4. .

7 . Обратные тригонометрические функции

7.1. . .

7.2. . .

7.3. , .

7.4. . .

, , .

8. Гиперболические функции

8.1. Гиперболический синус

.

8.2. Гиперболический косинус

.

8.3. Гиперболический тангенс

.

8.4. Гиперболический котангенс

. , , , .

Асимптоты

1) - вертикальная асимптота , если .

2) - правая (левая) горизонтальная асимптота , если .

3) , , - наклонная асимптота при .

Исследование функций с помощью производной Интервалы монотонности

Функция , дифференцируемая на отрезке , возрастает (убывает) тогда и только тогда, когда ( ), .

Правило отыскания экстремумов функции

Ч тобы найти точки максимума и минимума функции , надо:

1). Найти производную , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение .

2). Найти точки, в которых производная не существует.

3). Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.

			Экстремум
			нет
			max
			min
			нет

С помощью второй производной:

		Экстремум
0		max
0		min
0	0

Точки перегиба

Функция , дифференцируемая на отрезке , выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда ( ), .

					Перегиб
	вып. вниз			вып. вниз	нет
	вып. вниз			вып. вверх	есть
	вып. вверх			вып. вниз	есть
	вып. вверх			вып. вверх	нет

Общая схема исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции; найти область значений функции; найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.

2. Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.

4. Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.

5. Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

6. Построить график.