- •Постановка общей задачи математического программирования.
- •Задача линейного программирования и различные формы ее математической записи (общая, каноническая, симметричная). Преобразование одной формы записи в другую.
- •Геометрическая интерпретация целевой функции и ограничений задачи линейного программирования. Геометрическая формулировка задачи линейного программирования.
- •Графический метод решения задачи линейного программирования с двумя переменными.
- •Опорные планы задачи линейного программирования. Соответствие между опорными планами и вершинами многогранника планов.
- •Основная теорема линейного программирования. Принципиальная схема решения задачи линейного программирования, вытекающая из этой теоремы.
- •Общая идея симплексного метода решения задачи линейного программирования. Геометрическая иллюстрация.
- •Алгоритм симплексного метода.
- •Признак оптимальности опорного плана задачи линейного программирования.
- •Переход от одного опорного плана к другому, более близкому к оптимальному.
- •Признак неограниченности целевой функции на множестве планов.
- •Признак бесконечности множества оптимальных планов.
- •Нахождение начального опорного плана задачи линейного программирования.
- •Признак неразрешимости задачи линейного программирования.
- •Экономический пример двойственной задачи: задача об оптимальном планировании производства и задача об оценках на используемые в производстве ресурсы. Двойственные оценки.
- •Построение двойственной задачи к общей задаче линейного программирования. Связь между элементами моделей этих задач.
- •Первая теорема двойственности и ее экономическое содержание. Прикладные аспекты теоремы.
- •Третья теорема двойственности и ее экономическое содержание. Прикладные аспекты теоремы.
- •Постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее экономико-математическая модель.
- •Транспортная задача с открытой и закрытой моделью. Преобразование открытой транспортной задачи в закрытую. Условие разрешимости транспортной задачи.
- •Алгоритм метода потенциалов.
- •Оценка (характеристика) свободной клетки транспортной таблицы Признак оптимальности опорного плана транспортной задачи. Не единственность оптимального опорного плана.
- •Потенциалы поставщиков и потребителей. Система уравнений для определения потенциалов.
- •Связь между оценками свободных клеток и потенциалами.
- •Усложненные постановки транспортной задачи (учет себестоимости продукции в месте изготовления, обязательные поставки).
- •Задача транспортного типа с максимизируемой целевой функцией и изменения в методике решения по сравнению с классической задачей о перевозках.
- •Постановка и математическая модель полностью целочисленной задачи линейного программирования. Идея решения задачи методом отсечения и его геометрическая иллюстрация.
- •Алгоритм метода Гомори решения полностью целочисленной задачи линейного программирования.
- •Построение правильного отсечения и его свойства.
- •Графическая интерпретация решения целочисленной задачи.
- •Задача о выборе наиболее экономного маршрута доставки груза и решение ее методом динамического программирования.
- •Задача об оптимальном распределении средств между предприятиями на расширение производства продукции и решение ее методом динамического программирования.
- •Задача о выборе оптимальной стратегии замены оборудования и решение ее методом динамического программирования.
Третья теорема двойственности и ее экономическое содержание. Прикладные аспекты теоремы.
«Об оценках» - «Компоненты оптимального плана двойственной задачи численно равны частным производным от экстремального значения целевой функции по свободным членам ограничения задачи» ui*=δfmax/δbi. Оценки показывают как изменяется экстремальное значение функций в зависимости от изменения правых частей ограничений задачи. Оценки показывают на сколько изменится максимальная выручка предприятий, если запас дефицитного ресурса изменится на единицу. Таким образом оценки являются мерой влияния ограничений задачи на экстремальное значение целевой функции.
Постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее экономико-математическая модель.
Классическая модель ТЗ: Пусть имеются Ai i=1,n пунктов отправления в которых сосредоточены запасы однородного товара в количестве ai ед. Имеются пункты назначения Bj j=1,n подавших заявки на bj ед товара. Известна стоимость перевозки cij единицы товара от каждого пункта отправки до пункта назначения. Имеется матрица стоимостей перевозки. Требуется составить такой план перевозки, при котором все заявки были бы выполнены и общая стоимость всех перевозок была минимальна. При постановке задачи показателем эффективности плана перевозки является стоимость, поэтому задачу называют ТЗ по критерию стоимости.
ЭММ: Сумм(ai)=Сумм(bj); f=Сумм(Сумм(cijxij)) → min; Сумм(xij)=a, i=1,m – груз от каждого поставщика должен быть вывезен полностью; Сумм(xij)=bj, i=1,n – спрос каждого потребителя на продукцию должен быть удовлетворён; xij>=0, i=1,m j=1,n;
Транспортная задача с открытой и закрытой моделью. Преобразование открытой транспортной задачи в закрытую. Условие разрешимости транспортной задачи.
Если количество предложения товаров не равно спросу, то задача является открытой. ТЗ имеет решение, если суммарный запас груза в пунктах отправления равен суммарному спросу в пунктах назначения. Решение открытой ТЗ сводится к закрытой по правилам? 1) Если суммарный запас груза поставщиков больше суммарного спроса потребителей, то в задачу вводится дополнительный потребитель с потребностью равной лишнему грузу и нулевой стоимостью перевозок. 2) Если суммарный запас груза поставщиков меньше суммарного спроса потребителей, то в задачу вводится дополнительный поставщик с недостающим грузом и нулевой стоимостью перевозок.
Теорема о ранге матрицы ограничительных уравнений транспортной задачи и ее прикладное значение. Количество «загруженных» клеток в транспортной таблице и проблемы, возникающие в связи с этим в вырожденных задачах.
Ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных системы ограничений m+n-1, где m – количество поставщиков, n – количество потребителей. Из теоремы следует, что количество базисных переменных =m+n-1, а остальные небазисные =0. При несовпадении данного равенства клетка заполняется нулем и считается заполненной.
Циклы в транспортной таблице и их свойства.
Циклом или замкнутым контуром называется последовательность (i.j) таблицы ТЗ в которой каждые две рядом стоящие клетки находятся в одной строке или одном столбце, при этом номера первой и последней клеток совпадают. Циклы могут быть разнообразными, однако количество вершин в них всегда четные и повороты линий цикла производятся только под прямым углом.
Построение начального опорного плана транспортной задачи методом «северо-западного угла».
Заполнение клеток грузом начинается с верхнего левого угла и строка заполняется пока не закончится груз первого поставщика, затем переходим на вторую строку и так же заполняем.
Построение начального опорного плана транспортной задачи методом минимального элемента.
Заполнение клеток начинается по возрастанию стоимостей перевозок.
Построение начального опорного плана транспортной задачи методом Фогеля.
По каждой строке и каждому столбцу находят разности двух наименьших тарифов. Из этих разностей выделяется наибольшая, и в соответствующей строке загружается клетка с наименьшим тарифом. Закрывшая строка исключается из дальнейшего рассмотрения. Описанная операция повторяется до тех пор, пока не закроются все строки и столбцы, т.е. m+n-1 раз. Если наибольшая разность окажется сразу в нескольких строках и столбцах, то выбирают из них ту строку(столбец), в которой придётся загружать клетку с меньшим тарифом. Если и эти показатели будут одинаковыми, то выбирают клетку, в которую придётся записать большую поставку.