13. Нахождение начального опорного плана задачи линейного программирования.

1)Записываем условие задачи в симплекс-таблицу, так чтобы все свободные коэффициенты были неотрицательными. 2) Если в первом столбце таблицы нет нулевых элементов, то опорное решение получено. И перейдём к поиску оптимального решения. 3) Если в первом столбце имеются нулевые элементы, то рассматриваем элементы строки с любым из нулевых элементов первого столбца и формируем в ней положительные элементы. Любой столбец с положительным элементом в строке берем за разрешающий. Этот столбец выделяем стрелкой. 4) Разрешающую строку по наименьшему симплексному отношению (Отношение неотрицательных свободных членов к соответствующим коэффициентам разрешающего столбца. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент). 5) С найденным разрешающим элементом производим расчет новой симплексной таблицы.

14. Признак неразрешимости задачи линейного программирования.

Задача не имеет решения, если в разрешающем столбце нет положительных элементов. В этом случае функция не ограничена.

15. Экономический пример двойственной задачи: задача об оптимальном планировании производства и задача об оценках на используемые в производстве ресурсы. Двойственные оценки.

Каждой задаче линейного программирования соответствует двойственная. Если в прямой задаче находится максимум прибыли, то двойственная задача будет отражать минимизацию убытков.

16. Построение двойственной задачи к общей задаче линейного программирования. Связь между элементами моделей этих задач.

1)Упорядочивается запись исходной задачи. Целевая функция задачи максимизируется, ограничение неравенства вида >=0 приводят к виду <=0, если минимизируется, то наоборот. 2) Если исходная задача является задачей максимизации, то двойственная задача – минимизации. При этом вектор образованный из коэффициентов при независимых целевой функции исходной задачи совпадает с вектором констант в правых частях системы ограничений двойственной задачи и наоборот. Коэффициентами при неизвестных целевой функции двойственной задачи являются соответственно системы ограничений двойственной задачи. 3) Каждой переменной u_i двойственной задачи соответствует i-ое ограничение исходной задачи и наоборот, каждой переменной x_j прямой задачи соответствует j-ое ограничение двойственной задачи. 4) Матрица из коэффициентов при неизвестных двойственной задачи образуется транспонированием матрицы составленной из коэффициентов при неизвестных системы ограничений двойственной задачи. 5) Если на j-ую переменную исходной задачи наложено условие не отрицательности, то j-ое ограничение двойственной задачи будет неравенством, иначе равенством. Аналогично связаны ограничения исходной задачи и переменные двойственной.

17. Первая теорема двойственности и ее экономическое содержание. Прикладные аспекты теоремы.

«Для разрешения одной из двойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы каждая из задач имела хотя бы одно решение. Для того, чтобы решения x* и u* являлись оптимальными решениями пары двойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство».

18. Вторая теорема двойственности и ее экономическое содержание. Прикладные аспекты теоремы: оценка степени дефицитности ресурсов, оценка целесообразности производства новых видов продукции; оценка убыточности производства продукции, не рекомендованной оптимальным планом.

Теорема 2 «О дополнительной не жесткости». «Если какая-то переменная x_j*, j=1,n оптимального решения задачи положительная, то j-ое ограничение двойственной задачи, её оптимальным решением обращается в строгое равенство. Если оптимальное решение исходной задачи обращает какое-то i-ое ограничение в строгое неравенство, то в оптимальном решении двойственной задачи u_j*=0. X_j*(a_iju_i*-c_j)=0; u_i*(a_ijx_j*-b_i)=0». Двойственные оценки являются: 1) Показателем дефицитности ресурсов и продукции. Величина y_i* является оценкой i-ого ресурса. Чем больше значение оценки y_i*, тем выше дефицитность ресурса. Для недефицитного ресурса y_i*=0; 2) Показателем влияния ограничений на значение целевой функции y_i*=δfmax/δb_i; 3) Показателем эффективности производства отдельных видов продукции с позиций критерия оптимальности; 4) Инструментом сопоставления суммарных условных затрат и результатов.