- •Постановка общей задачи математического программирования.
- •Задача линейного программирования и различные формы ее математической записи (общая, каноническая, симметричная). Преобразование одной формы записи в другую.
- •Геометрическая интерпретация целевой функции и ограничений задачи линейного программирования. Геометрическая формулировка задачи линейного программирования.
- •Графический метод решения задачи линейного программирования с двумя переменными.
- •Опорные планы задачи линейного программирования. Соответствие между опорными планами и вершинами многогранника планов.
- •Основная теорема линейного программирования. Принципиальная схема решения задачи линейного программирования, вытекающая из этой теоремы.
- •Общая идея симплексного метода решения задачи линейного программирования. Геометрическая иллюстрация.
- •Алгоритм симплексного метода.
- •Признак оптимальности опорного плана задачи линейного программирования.
- •Переход от одного опорного плана к другому, более близкому к оптимальному.
- •Признак неограниченности целевой функции на множестве планов.
- •Признак бесконечности множества оптимальных планов.
- •Нахождение начального опорного плана задачи линейного программирования.
- •Признак неразрешимости задачи линейного программирования.
- •Экономический пример двойственной задачи: задача об оптимальном планировании производства и задача об оценках на используемые в производстве ресурсы. Двойственные оценки.
- •Построение двойственной задачи к общей задаче линейного программирования. Связь между элементами моделей этих задач.
- •Первая теорема двойственности и ее экономическое содержание. Прикладные аспекты теоремы.
- •Третья теорема двойственности и ее экономическое содержание. Прикладные аспекты теоремы.
- •Постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее экономико-математическая модель.
- •Транспортная задача с открытой и закрытой моделью. Преобразование открытой транспортной задачи в закрытую. Условие разрешимости транспортной задачи.
- •Алгоритм метода потенциалов.
- •Оценка (характеристика) свободной клетки транспортной таблицы Признак оптимальности опорного плана транспортной задачи. Не единственность оптимального опорного плана.
- •Потенциалы поставщиков и потребителей. Система уравнений для определения потенциалов.
- •Связь между оценками свободных клеток и потенциалами.
- •Усложненные постановки транспортной задачи (учет себестоимости продукции в месте изготовления, обязательные поставки).
- •Задача транспортного типа с максимизируемой целевой функцией и изменения в методике решения по сравнению с классической задачей о перевозках.
- •Постановка и математическая модель полностью целочисленной задачи линейного программирования. Идея решения задачи методом отсечения и его геометрическая иллюстрация.
- •Алгоритм метода Гомори решения полностью целочисленной задачи линейного программирования.
- •Построение правильного отсечения и его свойства.
- •Графическая интерпретация решения целочисленной задачи.
- •Задача о выборе наиболее экономного маршрута доставки груза и решение ее методом динамического программирования.
- •Задача об оптимальном распределении средств между предприятиями на расширение производства продукции и решение ее методом динамического программирования.
- •Задача о выборе оптимальной стратегии замены оборудования и решение ее методом динамического программирования.
Алгоритм симплексного метода.
Преобразуем задачу в каноническую форму.
1)Записываем условие задачи в симплекс-таблицу, так чтобы все свободные коэффициенты были неотрицательными. 2) Если в первом столбце таблицы нет нулевых элементов, то опорное решение получено. И перейдём к поиску оптимального решения. 3) Если в первом столбце имеются нулевые элементы, то рассматриваем элементы строки с любым из нулевых элементов первого столбца и формируем в ней положительные элементы. Любой столбец с положительным элементом в строке берем за разрешающий. Этот столбец выделяем стрелкой. 4) Разрешающую строку по наименьшему симплексному отношению (Отношение неотрицательных свободных членов к соответствующим коэффициентам разрешающего столбца. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент). 5) С найденным разрешающим элементом производим расчет новой симплексной таблицы. Анализ новой таблицы начинам со 2-ого пункта. Так делаем, пока не найдём опорного решения или не убедимся, что его не существует. Задача не имеет опорного решения, если в нулевой строке свободный член положительный, а все остальные коэффициенты отрицательные. Небазисные переменные для опорного решения равны нулю, а базисные приравниваются к свободным членам.
Признак оптимальности опорного плана задачи линейного программирования.
Теорема «Об оптимальности решения задачи линейной оптимизации»: Если в строке функций все коэффициенты, за исключением свободного члена, неотрицательные, то решение будет оптимальным. Если среди коэффициентов строки функции имеются отрицательные, то значения функции можно улучшить.
Переход от одного опорного плана к другому, более близкому к оптимальному.
Алгоритм нахождения оптимального плана: 1) Рассматриваем элементы строки функций, если все они неотрицательные (не считая свободного), то найден максимум функции. Если какой-то коэффициент в f строке равен 0, то задача имеет множество оптимальных решений. Если среди коэффициентов f строки имеются отрицательные (за исключением свободного члена), то выбираем среди них наибольший по абсолютной величине и этот столбец берем за разрешающий. 3) Разрешающую строку находим по наименьшему симплексному соотношению. 4) С найденным разрешающим элементом рассчитываем новую таблицу. Так действуем, пока не найдём оптимального решения или не убедимся, что его не существует.
Признак неограниченности целевой функции на множестве планов.
Задача не имеет решения, если в разрешающем столбце нет положительных элементов. В этом случае функция не ограничена. Если в f строке какой либо из элементов имеет значение 0, то говорят, что план является оптимальным, но не единственным, так как ещё существует множество оптимальных планов. В таком случае любая выпуклая линейная комбинация опорных планов x*=λx1*+(1-λ)x2* так же будет представлять собой оптимальный план.
Признак бесконечности множества оптимальных планов.
Если в f строке какой либо из элементов имеет значение 0, то говорят, что план является оптимальным, но не единственным, так как ещё существует множество оптимальных планов. В таком случае любая выпуклая линейная комбинация опорных планов x*=λx1*+(1-λ)x2* так же будет представлять собой оптимальный план.