
- •Постановка общей задачи математического программирования.
- •Задача линейного программирования и различные формы ее математической записи (общая, каноническая, симметричная). Преобразование одной формы записи в другую.
- •Геометрическая интерпретация целевой функции и ограничений задачи линейного программирования. Геометрическая формулировка задачи линейного программирования.
- •Графический метод решения задачи линейного программирования с двумя переменными.
- •Опорные планы задачи линейного программирования. Соответствие между опорными планами и вершинами многогранника планов.
- •Основная теорема линейного программирования. Принципиальная схема решения задачи линейного программирования, вытекающая из этой теоремы.
- •Общая идея симплексного метода решения задачи линейного программирования. Геометрическая иллюстрация.
- •Алгоритм симплексного метода.
- •Признак оптимальности опорного плана задачи линейного программирования.
- •Переход от одного опорного плана к другому, более близкому к оптимальному.
- •Признак неограниченности целевой функции на множестве планов.
- •Признак бесконечности множества оптимальных планов.
- •Нахождение начального опорного плана задачи линейного программирования.
- •Признак неразрешимости задачи линейного программирования.
- •Экономический пример двойственной задачи: задача об оптимальном планировании производства и задача об оценках на используемые в производстве ресурсы. Двойственные оценки.
- •Построение двойственной задачи к общей задаче линейного программирования. Связь между элементами моделей этих задач.
- •Первая теорема двойственности и ее экономическое содержание. Прикладные аспекты теоремы.
- •Третья теорема двойственности и ее экономическое содержание. Прикладные аспекты теоремы.
- •Постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее экономико-математическая модель.
- •Транспортная задача с открытой и закрытой моделью. Преобразование открытой транспортной задачи в закрытую. Условие разрешимости транспортной задачи.
- •Алгоритм метода потенциалов.
- •Оценка (характеристика) свободной клетки транспортной таблицы Признак оптимальности опорного плана транспортной задачи. Не единственность оптимального опорного плана.
- •Потенциалы поставщиков и потребителей. Система уравнений для определения потенциалов.
- •Связь между оценками свободных клеток и потенциалами.
- •Усложненные постановки транспортной задачи (учет себестоимости продукции в месте изготовления, обязательные поставки).
- •Задача транспортного типа с максимизируемой целевой функцией и изменения в методике решения по сравнению с классической задачей о перевозках.
- •Постановка и математическая модель полностью целочисленной задачи линейного программирования. Идея решения задачи методом отсечения и его геометрическая иллюстрация.
- •Алгоритм метода Гомори решения полностью целочисленной задачи линейного программирования.
- •Построение правильного отсечения и его свойства.
- •Графическая интерпретация решения целочисленной задачи.
- •Задача о выборе наиболее экономного маршрута доставки груза и решение ее методом динамического программирования.
- •Задача об оптимальном распределении средств между предприятиями на расширение производства продукции и решение ее методом динамического программирования.
- •Задача о выборе оптимальной стратегии замены оборудования и решение ее методом динамического программирования.
Постановка общей задачи математического программирования.
Математическое программирование – область математики разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями. Математической моделью экономической задачи называется – совокупность математических соотношений описывающих рассматриваемый экономический процесс. Для составления математической модели необходимо: 1)Выбрать переменные задачи; 2)Составить систему ограничений; 3)Задать целевую функцию. Постановка общей задачи МП: найти значение N неизвестных х1,х2,…хn, при которых выполняются ограничения gi(x1,x2,….xn) (<=,=,>=) bi(i=1,m)(1) и доставляется экстремум функции Z=f(x1,x2,…xn) –extr - (2) целевая функции. Значение переменных (х1,х2,…хn) называется решением задачи или планом. План удовлетворяющий ограничениям (1) называется допустимым. Допустимый план, при котором значения достигают экстремума называется оптимальным. Задачи МП : определение оптимального плана, определение оптимального объема выпуска продукции.
Задача линейного программирования и различные формы ее математической записи (общая, каноническая, симметричная). Преобразование одной формы записи в другую.
Линейное программирование – область математики разрабатывающая теорию и численные методы решения задач, нахождения экстремума линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений. Модель задачи линейного программирования может быть записана в общей, канонической или симметрической форме. При в общей форме записи задача имеет ограничения (>=,<=,=). В канонической (=). В симметрической (>=,<=). Формы записи задачи могут быть легко преобразованы из одной в другую. X >= 9, - X <= - 9, - X + y = - 9.
Геометрическая интерпретация целевой функции и ограничений задачи линейного программирования. Геометрическая формулировка задачи линейного программирования.
Графический способ целесообразно использовать для решения задач с двумя переменными, записанных в симметричной форме, а так же для задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных. Ограничения при графическом методе решения будут представлять собой прямые.
Графический метод решения задачи линейного программирования с двумя переменными.
1)В координатной плоскости строится допустимая область решений(ОДР). 2) Строится вектор-градиент линейной функции. Начало вектора в точке (0;0), а вершина в точке (C1:C2), где С1 и С2 – коэффициенты при переменных целевой функции задачи. Вектор-градиент показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции. 3) Строится прямая семейства f=const, которая всегда будет проходить перпендикулярно вектору-градиенту через точку (0;0). 4) Прямая f перемещается в направлении этого вектора в случае максимума или противоположно в случае минимума, до тех пор, пока не покинет пределов многоугольной области. Крайняя (предельная) точка области при этом движении является точкой max или min целевой функции. 5) Для нахождения координаты точки достаточно решить систему из двух уравнений и найти точку их пересечения.
В ходе решения ЗЛП графическим способом могут получаться следующие результаты: 1. Оптимальный план единственный: линия уровня и ОДЗ в крайнем положении имеют одну общую точку; 2. Оптимальных планов бесконечное множество: в разрешающем положении линия уровня проходит через грань ОДЗ; 3. Задача не имеет решения: ОДЗ=ø; 4. Целевая функция не ограничена, в этом случаи добавляется еще одно ограничение.