Переходная характеристика

Переходной характеристикой (переходной функцией) называется реакция системы (при нулевых начальных условиях) на единичный ступенчатый сигнал (единичный скачок) (Рисунок 13):

. (22)

Импульсная и переходная функции связаны выражениями:

, . (23)

Для систем без интеграторов переходная характеристика стремится к постоянному значению. Переходная характеристика системы с дифференцирующим звеном (числитель передаточной функции имеет нуль в точке ) стремится к нулю.

Рисунок 13 – Переходная характеристика

По определению предельное значение переходной функции при есть статический коэффициент усиления:

. (24)

Эта величина имеет смысл только для устойчивых систем, поскольку при неустойчивости переходный процесс не сходится к конечному значению.

По переходной характеристике можно найти важнейшие показатели качества системы – перерегулирование (overshoot) и время переходного процесса (settling time). (Рисунок 14)

Перерегулирование определяется как:

, (25)

где – максимальное значение функции , а – установившееся значение выхода.

Время переходного процесса – это время, после которого сигнал выхода отличается от установившегося значения не более, чем на заданную малую величину (в среде Matlab по умолчанию используется точность 2%).

Рисунок 14 – Определение времени переходного процесса и перерегулирования

Частотная характеристика

При подаче на вход линейной системы гармонического (синусоидального) сигнала с частотой (она измеряется в радианах в секунду), на выходе будет также гармонический сигнал той же частоты, но другой амплитуды и фазы , где – амплитуда и – сдвиг фазы.

Частотная характеристика определяется как реакция системы на комплексный экспоненциальный сигнал . Для ее построения надо использовать подстановку в передаточной функции . Выражение называется частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой частотной характеристикой системы (АФЧХ).

Зависимость модуля величины от частоты называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) (Рисунок 15), а зависимость аргумента комплексного числа (фазы) от частоты ­– фазовой частотной характеристикой (ФЧХ):

. (26)

АЧХ показывает, насколько усиливается амплитуда сигналов разных частот после прохождения через систему, а ФЧХ характеризует сдвиг фазы сигнала.

Рисунок 15– Амплитудно – частотная характеристика

Реальные объекты имеют строго правильную передаточную функцию, поэтому их АЧХ убывает с ростом частоты и асимптотически стремится к нулю. Говорят, что такой объект обладает свойством фильтра – фильтрует (не пропускает) высокочастотные сигналы (помехи, шумы измерений). Это свойство служит основой для использования метода гармонического баланса.

Частота, после которой значение АЧХ уменьшается ниже 0 дБ (коэффициент усиления меньше 1, сигнал ослабляется), называется частотой среза системы .

Частота, после которой значение АЧХ падает ниже -3 дБ (коэффициент усиления меньше, чем 0.708), называется полосой пропускания системы . Для ее вычисления используют команду:

>> b = bandwidth ( f )

Максимум АЧХ соответствует частоте, на которой усиление наибольшее. Значение АЧХ при равно усилению при постоянном сигнале, то есть, статическому коэффициенту усиления . Это следует и из равенства:

. (27)

Для систем с интегрирующими звеньями частотная характеристика стремится к бесконечности при . Это значит, что их выход бесконечно увеличивается или уменьшается при постоянном входном сигнале.

Чтобы построить частотные характеристики в Matlab, надо сначала создать массив частот в нужном диапазоне. Для этого можно использовать функции linspace (равномерное распределение точек по линейной шкале) и logspace (равномерное распределение точек по логарифмической шкале). Команда:

>> w = linspace (0, 10, 100);

строит массив из 100 точек с равномерным шагом в интервале от 0 до 10, а команда

>> w = logspace (-1, 2, 100);

– массив из 100 точек с равномерным шагом по логарифмической шкале в интервале от до .

Частотная характеристика на сетке w для линейной модели f (заданной как передаточная функция, модель в пространстве состояний или в форме «нули-полюса») вычисляется с помощью функции freqresp:

>> r = freqresp(f, w);

Функция freqresp возвращает трехмерный массив. Это связано с тем, что она применима и для многомерных моделей (с несколькими входами и выходами), передаточная функция которых представляет собой матрицу. Первые два индекса обозначают строку и столбец в этой матрице, а третий – номер точки частотной характеристики. Для системы с одним входом и одним выходом удобно преобразовать трехмерный массив в одномерный командой

>> r = r(:);

Для вывода графика АЧХ на экран можно использовать команды Matlab

>> plot ( w, abs(r) );

>> semilogx ( w, abs(r) );

>> loglog ( w, abs(r) );

В первом случае масштаб обеих осей координат – линейный, во втором случае используется логарифмический масштаб по оси абсцисс (частот), в последнем ­– логарифмический масштаб по обеим осям. Для вычисления фазы (в градусах) используется команда:

>> phi = angle(r)*180/pi;

после чего можно строить ФЧХ, например:

>> semilogx ( w, phi );

Полюса и нули

Многие динамические свойства системы (например, быстродействие, перерегулирование) определяются полюсами передаточной функции (или, что то же самое, собственными числами матрицы модели в пространстве состояний).

Передаточную функцию можно записать как произведение передаточных функций элементарных звеньев первого и второго порядков. Таким образом, множество полюсов передаточной функции устойчивой системы составляют полюса передаточных функций двух типов простейших звеньев: апериодических и колебательных.

Апериодическое звено с передаточной функцией вида имеет единственную характеристику – постоянную времени . Начиная примерно с частоты , АЧХ такого звена начинает убывать, приближаясь к нулю.

Колебательное звено имеет передаточную функцию , где – постоянная времени и . Частота называется собственной частотой (natural frequency), а параметр – параметром затухания или коэффициентом демпфирования (damping factor). При уменьшении импульсная и переходная функции приобретают ярко выраженный колебательный характер, а на АЧХ появляется «горб» в районе частоты . В предельном случае при колебания становятся незатухающими, а звено называется консервативным. С другой стороны при корни знаменателя становятся вещественными, и звено превращается в апериодическое звено второго порядка.

Для нахождения полюсов передаточной функции f можно использовать функцию:

>> p = pole ( f )

Вызов функции:

>> [w0,zeta,p] = damp ( f )

позволяет найти не только полюса p, но также соответствующие им собственные частоты w0 и коэффициенты демпфирования zeta в виде массивов.

Нули передаточной функции f вычисляются как

>> z = zero ( f );

Устойчивость системы не зависит от расположения нулей, но они существенно влияют на переходные процессы. Команда:

>> pzmap ( f );

строит карту расположения нулей (они обозначаются кружками) и полюсов (крестики) системы на комплексной плоскости.

Передаточные функции типовых звеньев приведены в таблице 2

Таблица 2- Передаточные функции типовых звеньев

	Название звена	ПФ звена
1	Интегрирующие (И)
2	Дифференцирующие (Д)
3	Усилительное (У) (безынерционное)
4	Апериодическое 1-го порядка (А) (инерционное)
5	Апериодическое 2-го порядка (А2) (все корни вещественные)	,
6	Колебательное (К)	, ζ < 1.
7	Консервативное (КОН)
8	Интегрирующие с запаздыванием (реальное интегрирующие) (ИЗ)
9	Дифференцирующее с запаздыванием (реальное дифференцирующее) (ДЗ)
10	Форсирующее (Ф)
11	Изодромное (ИЗД)

На практике часто требуется найти эквивалентную передаточную функцию, которую можно получить путем сворачивания звеньев с использованием следующих правил.

При последовательном соединении звеньев выходная величина каждого предыдущего звена является выходной величиной для последующего звена (рисунок 16, а).

а-последовательное; б-параллельное; в- встречно - параллельное

Рисунок 16- Соединение звеньев

Передаточная функция последовательно соединённых звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев (Рисунок 16а):

(28)

Параллельное соединение звеньев – соединение, при котором входная величина является общей для всех звеньев (рисунок 1, б). Передаточная функция параллельно соединённых звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

(29)

Встречно – параллельное соединение звеньев, в состав которого входит положительная или отрицательная обратная связь (рисунок 16, в). Передаточную функцию для такого соединения звеньев определяют по формуле:

(30)

Для получения эквивалентной передаточной функции в среде Matlab нужно ввести требуемые функции с помощью команды tf и произвести необходимые преобразования по формулам 28 – 30.