4.4.7. Истинность и доказуемость

В первой теореме Гёделя о неполноте (п. 4.4.9) речь идет об «истинности» и «доказуемости». Чтобы доказывать какие-либо утверждения относительно этих понятий, необходимо придать им математический смысл.

Понятие доказательства является едва ли не самым главным в математике, но формально определить его даже труднее, чем понятия множества и алгоритма. Прекрасное определение: доказательство — это рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других. Однако это определение принадлежит скорее психологии, нежели математике. Ничуть не проще для математического определения и понятие истины. Попытки раскрыть это понятие во всей полноте уводят нас в философию, языкознание, теологию и в другие очень интересные и поучительные области мысли, которые, однако, далеки от изучаемого предмета: дискретной математики для программистов.

Выход состоит в том, чтобы зафиксировать неопределяемые понятия в виде несложно устроенных конструктивных объектов и далее манипулировать этими объектами средствами наивной теории множеств и наивной теории алгоритмов. То, что получится, можно назвать наивной теорией доказательства.

В данном случае множество истинных утверждений, или множество истин, рассматривается просто как некоторое множество слов T в нашем универсальном алфавите U. Далее, множество доказательств также рассматривается просто как некоторое разрешимое множество слов D в нашем универсальном алфавите U. Элементы множества D называются доказательствами. Других ограничений на множества T и D пока не накладывается. Наряду с разрешимым множеством D постулируется наличие вычислимой функции D: DU^*, называемой функцией извлечения доказанного. Если p=D(d), где dD, то p называется теоремой. Таким образом, P = D(D) — множество теорем. Пара <D, D> называется дедуктикой.

Пример. Формальные теории, рассматриваемые в предыдущих разделах, являются дедуктиками. Множество D в них строится как последовательности слов, получаемых из «аксиом» по «правилам вывода» (проверка корректности вывода — это и есть разрешающий алгоритм), а функция извлечения доказанного очень проста и, очевидно, вычислима: последнее слово в доказательстве является теоремой.

Нас интересует, как соотносятся теоремы и истины в зависимости от того, какими свойствами обладают множества T и D.

Примеры. Рассмотрим некоторые примеры формулировок свойств интересующих нас множеств на естественном языке.

1. Существуют недоказуемые истины. Это утверждение тривиально и неинтересно. Достаточно положить D:=, и при любом T все истины окажутся недоказуемыми.

2. Не существует дедуктики, в которой все истины доказуемы. А это утверждение просто неверно. Достаточно положить D:=Т, D(t):=t и при любом T все истины окажутся легко доказуемыми.

Дедуктика <D, D> называется непротиворечивой относительно множества истин T, если D(D)  T (т. е. PT). Дедуктика <D, D> называется полной относительно множества истин T, если T  D(D) (т. е. TP). Непротиворечивая и одновременно полная дедуктика называется адекватной множеству истин T, в такой дедуктике множество теорем совпадает с множеством истин, T = P.

Замечание. Разрешимое множество доказательств D является подмножеством множества всех слов, которое перечислимо. Значит, по лемме 2 множество D перечислимо. Далее, множество теорем P является образом перечислимого множества при применении вычислимой функции. Значит, по лемме 4 множество P также перечислимо.

Пример. Адекватные дедуктики для интересных множеств истин существуют: построение таблиц истинности является адекватной дедуктикой для тавтологий в исчислении высказываний (п. 4.3.8).

Вопрос состоит в том, при каких условиях, налагаемых на множество истин T, может не найтись адекватной дедуктики?

Теорема. Если множество истин T перечислимо, то существует дедуктика <D, D>, адекватная T.

Доказательство. Если T=, то достаточно положить D:=. Пусть T и T: T перечисляющий алгоритм в форме вычислимой функции, вычисляющей истину по её номеру. Тогда положим D :=  и D := T. чтд

Другими словами, если множество истин перечислимо, и может быть расположено в определенной последовательности, то доказательством истины является указание номера истины в этой последовательности.

Следствие. Если множество истин T неперечислимо, то не существует дедуктики <D, D>, адекватной T.

Доказательство. Действительно, множество теорем P любой дедуктики перечислимо, а потому не может совпадать с неперечислимым множеством истин T. чтд

Итак, ответ на основной вопрос получен — если множество истин можно задать алгоритмом, то адекватная дедуктика может быть построена и всё в порядке: всё истинное доказуемо и всё доказуемое истинно. Если же множество истин невозможно задать алгоритмически, то и нет надежды на построение адекватной дедуктики (системы доказательств). Но, может быть, всё не так плохо и неалгоритмические множества истин нам просто не понадобятся на практике? Увы, ответ отрицательный — неалгоритмические множества истин нам совершенно необходимы.