3.3. Оценка погрешности аппроксимации разностной схемы

Перепишем систему сеточных уравнений в виде:

(5)

Отметим, что каждое из уравнений системы (5) содержит лишь пять неизвестных u_m+1,_n, u_m-1,_n , u_m,_n+1, u_m,_{n-1 ,} u_m,_n хотя в полной системе разностных уравнений таких неизвестных величин {u_m,_n} составляет . Таким образом, матрица системы (5) является сильно разреженной.

Задача на собственные значения для оператора А состоит в том, что­бы найти числа λ (собственные числа или собственные значения) такие, для которых уравнение Аy= λу имеет нетривиальные решения (собствен­ные функции), а также найти сами собственные функции у.

Числом обусловленности линейного оператора А, дествующего в нормированном пространстве R^m, а также числом обусловленности систе­мы линейных уравнений Ax=f назовем величину μ(А) = * . Таким

образом появляется связь числа обусловленности с выбором нормы.

Предположим, что матрица и правая часть системы Ax=f заданы не точно. При этом погрешность матрицы составляет δА, а правой части δf. Можно показать, что для погрешности δх имеет следующая оценка:

В частности, если δА =0, то μ(А) . При этом решение уравнения Ax=f и его погрешность δх не при всех f одинаково чувствительно к воз­мущениям δ f, а существенно зависит от числа обусловленности μ(А)

линейного оператора А. При этом μ(А) , где (А), (А) - соответственно наибольшее и наименьшее по модулю собственные числа мат­рицы А. Матрицы с большим числом обусловленности (ориентировочно μ(А)>10³) называются плохо обусловленными. При численном решении систем с плохо обусловленными матрицами возможно сильное накопление по1решностей, что следует из оценки погрешности δх. Имеет место следующая оценка для собственных значений задачи L_hu_h = F_h:

(L_h) (L_h),

где (L_h) и (L_h) - соответственно наибольшее и наименьшее по ­

модулю собственные числа матрицы L_h:

(L_h) = + = + = 0,2204

(L_h) = + = + = 199,78

μ(L_h) = = = 906,4 10³

3.4. Сравнение числа итераций с теоретическими оценками

Итерационный процесс Зейделя:

(6)

Слагаемые с индексами (m-l,n) и (m,n-l) берутся с k-ой итерации, т.е. в вычислениях используются уточненные значения функции в этих точках. Расчет по формуле (6) при движении, например, слева направо от границы области позволяет последовательно вычислить значения функции на слоях

y = const (или х = const). Использование уточненных значений функции улучшает сходимость метода итераций и позволяет уменьшить требуемый для реализации метода объем оперативной памяти ЭВМ, т.к. в методе Зейделя не требуется одновременно хранить значение функции в каждой точке на двух итерациях.

Теоретическая оценка числа итераций, необходимых для достижения заданной точности при использовании метода Зейделя:

0,1 ln = 0,1 ln =3 801 832,

где N = 46*51 = 2346 – число узлов.

В программной реализации было получено, что заданная точность достигается после 2745 итераций, что значительно меньше теоретической оценки.