17 Вопрос

Решение СЛАУ прямоугольного вида ( mxn). Общее решение, частное решение, базисное решение:

18 Вопрос

Однородная система уравнений. Теорема о существовании нетривиального решения( случай, когда система nxn)

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O

и операторного уравнения

^Ax = θ

(2)

Система (1) всегда совместна, так как:

1. имеет очевидное решение x₁⁰  =  x₂⁰  =   …   =  x_n⁰ = 0 , которое называется нулевым, или тривиальным;

2. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;

Условие нетривиальной совместности:

Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Следствие. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными (матрица системы A — квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю.

Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений:

Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой

X = C1 · X1 + C2 · X2 + … + Cn − r · Xn − r,

(3)

где X₁,  X₂,   … ,  X_n − r — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C₁,  C₂,   … ,  C_n − r — произвольные постоянные.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

1. При любых значениях C₁,  C₂,   … ,  C_n − r    X , определяемое формулой (3), является решением системы (1).

2. Каково бы ни было решение X₀ , существуют числа C₁⁰,   … ,  C_n − r⁰ такие, что

X0 = C10 · X1 + C20 · X2 + … + Cn − r0 · Xn − r.

19 Вопрос

Необходимое и достаточное условие существования нетривиального решения системы nxm

Теорема: Однор.система ур-й имеет тогда и только тогда нетривиальное решение, когда rang(A) < n

СЛАУ( mxn); m<n

Rang(A)<= min(m;n) следовательно, система всегда имеет нетривиальное решение.

20 Вопрос

Фундаментальная система решений однор.сист. ур-й:

1.если к1 и к2- решение однор.сист.уравнений, то и сумма ( к1+к2)- реш. Однор.системы уравнений.

Док-во: к1- решение => А* к1=0

К2- решение => А* к2=0, следовательно А(К1+к2)= Ак1+ Ак2=0+0=0

2.если к- решение…., то ( альфа* к) –также решение

Док-во: к-решение => А*к=0 => альфа* А*к= 0 => А ( альфа*к)=0

Из этих 2х утверждений следует, что если к1, к2…к- система решений, то альфа*к1, альфа*к2….альфа*к- также решение.

Опр.: Линейно независ. Векторы F1, F2…F называется фундаментальн. системой решения однор. сист.ур-й ах=0, если каждое решение сист.уравнений явл.линейной комбинацией векторов F1, F2,….F

Х*= гамма1F1+ гамма2F2+…+ гаммаF- решение однор. сист.урав-й