7. Базис и ранг системы векторов.

А₁,А₂…А_m-размерность. Выделим из этой системы некоторую подсистему векторов. - подсистемы векторов. i₁,i₂,...i_n – какие то числа из набора 1,2, m. Будем говорить, что выделенная подсистема m – вектором является базисом исходной системы векторов, если векторы подсистемы линейно независимы и любой другой вектор системы является их линейной комбинацией.

А1 и А2 – базисные векторы (т к они линейно зависимые)

А1≠λА2 , α1=0, α2=-2. => А1, А3 – базис.

В одной системе векторов может быть несколько базисов, но количество векторов в базисе – одинаково. Ранг системы векторов – количество векторов в базисе.

8. Матрицы. Основные понятия и определения.

Матрица размером А(mxn) – таблица чисел, состоящая из m – строк и n – столбцов.

. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов. Прямоугольная матрица, если m≠n. Матрица размера 1xn называется матрицей-строкой. Матрица размера mx1 называется матрицей столбцом. Единичная матрица – матрица, на главной диагонали которой стоят все единицы, а остальные – все 0.

9. Операции над матрицами. Свойства операций.

Транспонирование матрицы – А(nxm) = A(mxn)

Действия над матрицами

Произведение двух матриц. А(mxn)*B(nxR)=C(mxR)

– «строка на столбец».Свойства:

1) А*В≠В*А

2) (А*В)*С=А*(В*С)

3) (А+В)*С= АС+ВС

4) Е*А=А

5) О*А=А*О=О, если подходит по размеру.

6) А^2=А*А

10. Определитель матрицы. Свойства определителя.

Опр. С каждой квадратной матрицей определенным образом связано некоторое число, называемое определителем матрицы, которое вычисляется по след. правилу:

Свойства определителя:

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется . Строки и столбцы равноправны. Если есть утверждение касающееся строк, оно справедливо и для столбцов.

2. Если все элементы какой либо строки (столбца) матрицы = 0, то определитель=0

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами)=0

4. при перестановке двух других строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный

5. При умножении любой строки (столбца) определителя на произвольное число λ, значение определителя умножается на это число.

6. Если какая либо строка (столбца) является линейной комбинацией других строк, то такой определитель =0

7. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другого (столбца) строки, предварительно умножив на какое- либо число отличное от нуля.

11. Вычисление определителей 2-го, 3-его и высших порядков

Теорема: Определитель матрицы = сумме произведений элементов, какой либо строки (или столбца) на их алгебраическое дополнение.

- разложение (высших порядков)

- правило треугольника

12. Понятие обратной матрицы. Теорема о существовании и нахождении обратной матрицы.

Для каждой квадратной матрицы, определитель которой ≠0, т е матрицы невырожденная, существует матрица, такая, для которой выполняется следующее неравенство .

Терема о существовании и нахождении обратной матрицы. Если определитель ≠ 0, то эта матрица имеет обратную, которая вычисляется , где - присоединенная матрица, которая определяется

, где

Свойства обратной матрицы:

1. (А^-1)^-1=А

2. (А^-1)^Т=(А^Т)^-1

3. ‌│А^-1│=│А│^-1

4. (АВ)^-1=В^-1А^-1