§4. Формулы Френе

Когда точка М движется по кривой , то векторы и также зависят от s: , . В настоящем параграфе мы выясним, как меняются от s векторы и . Согласно лемме 2 предыдущей главы , где

 – угол поворота вектора , отвечающий изменению длины s. Но левая часть есть кривизна кривой, откуда .

Вектор направлен по нормали к кривой в сторону вектора . Т.к. длина равна 1, то

.

Заметим, что для точек распрямления k=0. Тогда из следует, что или . Т.е. для точек распрямления действительно .

Рассмотрим теперь вектор Согласно лемме 1 . Т.е. вектор направлен по касательной к кривой, следовательно, Найдём множитель . Векторы и ортогональны, т.е. . Дифференцируя это равенство, получим . Используя и , из последнего равенства имеем: . Но и – единичные векторы, поэтому последнее равенство даёт , откуда .Тогда из следует .

Итак, формулы Френе для плоской кривой имеют вид:

Гл. IV. Теория кривизны пространственных кривых §1. Касательные и нормали

В пространстве векторное уравнение кривой задаётся в виде:

.

Обыкновенная точка кривой удовлетворяет условию . Ранее было установлено, что вектор направлен по касательной к кривой в точке .

Из аналитической геометрии известно, что уравнение касательной к кривой имеет вид: , где (X,Y,Z) – текущие координаты касательной.

Плоскость, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормальной плоскостью. Любая прямая, лежащая в этой плоскости, называется нормалью.

Если задана на кривой точка , то касательный вектор имеет координаты . И тогда уравнение нормальной плоскости, как следует из курса аналитической геометрии, имеет вид: .

Рассмотрим теперь в пространстве поверхность: .

Эта поверхность определяет в пространстве скалярное поле. Проведём на этой поверхности какую-либо кривую, заданную уравнением . Тогда для любого t точка лежит на поверхности , т.е. . Продифференцируем это тождество по t:

.

Это тождество справедливо для любой точки кривой на поверхности . В производные зависят от выбора кривой на поверхности, а производные – от выбора точки поверхности .

Рассмотрим вектор — градиент функции (или градиент скалярного поля ). Тогда выражение есть скалярное произведение векторов и , т.е. . Мы предполагаем, что точка является обыкновенной точкой поверхности, т.е. . Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания. Очевидно, что в любой обыкновенной точке нормаль будет единственной. Если в качестве направляющего вектора нормали в точке M(x,y,z) взять вектор F, то уравнение нормали будет иметь вид: .

Выясним геометрический смысл условий . Пусть в точке М поверхности S для определённости (рис. 24). Тогда по теореме существования неявной функции уравнение может быть записано в виде . В этом случае точка М называется обыкновенной точкой поверхности . В данном случае каждой точке (х,у) области D соответствует единственная точка М(x,y,z) поверхности S. Поверхность S в окрестности обыкновенной точки М называется простым куском по-

x y S M(x,y,z) Рис. 24

верхности.

Если же условие не выполняется, точка может оказаться особой, т.е. не обыкновенной. Так, для поверхности, заданной уравнением

в точке (0,0,0) условие не выполнено. И действительно, эта точка является вершиной конуса. В любой окрестности этой точки уравнение нельзя записать в виде . Да и сам конус в окрестности точки (0,0,0) нельзя представить в виде простого куска поверхности.

Пусть в пространстве кривая Г задана пересечением двух поверхностей: Построим в точке М0 этой кривой векторы и . Каждый из них ортогонален касательной плоскости соответствующей поверхности в точке М0. Ясно, что линия пересечения касательных поверхностей будет касательной к линии Г – линии пересечения поверхностей F(1) и F(2). Очевидно, эта касательная коллинеарна вектору

F(2) Г Рис. 25

. Вектор можно взять в качестве направляющего вектора при составлении канонического уравнения пространственной прямой: если точка М₀ имеет координаты , а – текущая точка на касательной, то уравнение этой касательной примет вид: , где , , .

После этого можно написать и уравнение нормальной плоскости: .

Условие  обеспечивает существование кривой.

Рассмотрим две сферы, касающиеся друг друга в точке М₀. В этой точке касательные плоскости совпадают, т.е. . В этом случае линия пересечения вырождается в точку.