§6. Касание кривых

Пусть даны две кривые: и (cм. рис. 20). Пусть при s=0 обе кривые проходят через точку М0: . Нас будет интересовать вопрос: как близко расположены кривые в бесконечно малой окрестности точки М0? Расхождение между кривыми мы будем оценивать через расстояние между точками М1 и М22).

С1 С2 О Рис. 20

Разложим функции и по формуле Тейлора³⁾:

Тогда

Возможны следующие случаи:

1. векторы и неколлинеарны, т.е. касательные к кривым С₁ и С₂ в точке М₀ не совпадают (см. рис. 20). Тогда в будет содержаться член . В этом случае кривые просто пересекаются в точке М₀. Это наиболее распространённый случай.

2. векторы и коллинеарны: . Т.к. касательные в этом случае совпадают (обе имеют длину 1), то слагаемое и разложение начинается с члена O(s²). Мы предполагаем здесь, что в формулах s>0.

3. Возможно, что в т. М₀ , а . В этом случае говорят, что кривые С₁ и С₂ имеют касание порядка п.

Гл. III. Теория кривизны плоских кривых §1. Соприкасающаяся окружность

Кривизна – важнейшая характеристика кривой. В бесконечно малом, в окрестности рассматриваемой точки кривой для исследования поведения кривой в этой точке мы заменяем кривую близким геометрическим объектом, более простым и наглядным. Таким простейшим геометрическим объектом до сих пор была касательная – прямая в рассматриваемой точке кривой. Т.е. кривую мы отождествляли с прямой с точностью О(t): в разложении по формуле Тейлора мы пренебрегали слагаемыми порядка О(t²).

Если же такая точность нас не устраивает, то мы должны найти такой образ, который был бы

а) достаточно простым,

б) приближал бы нашу кривую с точностью О(t²).

Таким простым геометрическим образом является окружность.

Пусть кривая С задана параметрически: Тогда Уравнение окружности будем искать в виде . Наша задача – найти параметры окружности a,b,R. Уклонение окружности от кривой будем оценивать через расстояние LM, точнее, через разность координат точек L и М. Мы должны подобрать пара-

М(х,у) М0(х0,у0) Рис. 21

метры окружности a,b,R так, чтобы . Тогда мы и будем иметь касание второго порядка. Итак, . Покажем, что разность имеет тот же порядок малости, что и . Для этого найдём .

Для исследования уклонения LM нам удобнее исследовать выражение . OL=R, (см. рис. 21). Тогда . Разложим (t) по формуле Тейлора в окрестности точки t₀:

.

Потребуем, чтобы (t)=О(t³). Тогда должны быть выполнены равенства: (t₀) = (t₀) =  (t₀) или

Из последних двух уравнений находим разности и :

Естественно, для справедливости формул мы предполагаем, что знаменатель в них отличен от нуля. Тогда из можно найти центр соприкасающейся окружности (a,b), а затем из первого из равенств – её радиус: (Доказать самим)

Центр соприкасающейся окружности (a,b) называется центром кривизны кривой в точке t=t₀, а R – радиусом кривизны.

В случае же обращения в нуль знаменателя в формулах , т.е. , у нас и соприкасающаяся окружность превращается в касательную. В этом случае точка М₀ называется точкой распрямления.

Если же кривая С задана явно, т.е. , формулы и примут вид:

Замечание. Уклонение LM в качестве главной своей части имеет слагаемое , которое меняет свой знак при переходе через точку t₀. Т.е. LM меняет знак при переходе через точку касания М₀. Следовательно, кривая в точке касания, вообще говоря, переходит с одной стороны соприкасающейся окружности на другую.