§3. Дифференциал вектор-функции

По определению производной . По определению предела , где вектор . Из последнего равенства получаем

.

Представим вектор-функцию как радиус-вектор некоторой кривой в её параметрическом представлении. Из геометрических соображений ясно, что . Правая часть есть сумма векторов и , т.е. и . Пусть у нас . Тогда точка и точка . Длина вектора

Рис. 14

как бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Вектор же остаётся «постоянным», т.е. его направление постоянно, длина же меняется пропорционально множителю .

Вектор называется главной (линейной) частью смещения (или дифференциалом) вектор-функции в точке . Т.е. откуда следует .

Замечание. Если t – время, то траектория движения материальной точки есть . Тогда в бесконечно малый промежуток времени смещение точки можно считать по формуле , т.е. считать движение равномерным и прямолинейным.

Если этот подход распространить на все точки кривой, то можно сделать вывод, что криволинейное неравномерное движение суть совокупность равномерных прямолинейных движений в бесконечно малом.

Лемма 1. Если вектор-функция сохраняет постоянный модуль, т.е. , то для любого t .

Доказательство. Равенство продифференцируем по t: , т.е. векторы и ортогональны.

В частности, лемма справедлива и для единичных векторов. Для нас этот факт будет важен в дальнейшем.

Пусть в момент времени t мы имеем вектор-функцию , а в момент – вектор-функцию . называется скоростью вращения вектор-функции по отношению к её аргументу t. Лемма 2. Если , то скорость её вращения равна . Доказательство. Пусть = =1	О М´  Рис. 15
(рис. 16). Тогда величина угла . Составим отношение . Здесь ММ´ – длина хорды. Разность векторов , откуда . Из	М´ Рис. 16

. При первый сомножитель в правой части стремится к , второй – к единице. Лемма доказана.

Из леммы имеем: , где . Из последнего равенства имеем: . Если считать и , получим: бесконечно малая величина.

§4. Формула Тейлора для вектор-функции

Любая вектор-функция, заданная в трёхмерном пространстве, может быть записана в виде: . Разложив функции по формуле Тейлора в окрестности точки , для получим следующую формулу:

,

где . Т.к. все функции – непрерывно дифференцируемы (иначе формула Тейлора несправедлива), то , где С – некоторая константа, одна и та же для всех , где мы рассматриваем формулу Тейлора.

§5. Длина дуги

Мы знаем, что (см. рис. 17). Вектор . Из формулы Тейлора при п=1 имеем: . Но , откуда . Из получим , т.е.

Рис. 17

,

где – любая хорда кривой, соединяющая точку М₀ с произвольной точкой М нашей кривой, а константа С одна и та же для любых t, t₀.

Пусть теперь нам задана кривая своим векторным уравнением .

Отрезок разобьём точками деления . Значения порождают на кривой точки . На дуге имеем хорду , вектор касательной . Составим интегральные суммы

Рис. 18

— сумма длин ломаных и , где . Обозначим и докажем, что .

Из определения ₁ и ₂ следует: . Тогда . Используя , получим:

.

За длину кривой принимают В качестве параметра t обычно выбирают длину дуги.

. Пусть М0 – начало отсчёта параметра t. Дуга . Если , то s>0, при . Т.е. s=s(t). При этом . Итак, на участке s(t)>0, на участке М0Т0 s(t)<0. При Т.е. функция s(t) – возрастаю-

Рис. 19

щая. Она имеет обратную . Тогда можем получить .

Следствие 1. , откуда .

Следствие 2. Из предыдущего следствия , т.е. производная радиуса-вектора по дуге есть единичный вектор.

Следствие 3. Напомним ряд фактов, которые понадобятся в дальнейшем.

Имеет место соотношение . Тогда .

В частности, если t=x, .

В полярных координатах .