Гл. II. Дифференцирование вектор-функций. §1. Основные определения

Говорят, что на промежутке задана вектор-функция если каждому значению соответствует вполне определённое значение вектора

Говорят, что значение вектор-функции при , если разность векторов

Здесь – длина отрезка, изображающего вектор

Говорят, что вектор-функция непрерывна в точке , если .

Рассмотрим вектор .

Если при вектор стремится к некоторому предельному вектору, то вектор-функция называется дифференцируемой в точке и вектор называется производной вектор-функции в точке .

Мы видим, что определение производной вектор-функции совпадает с определением производной скалярной функции. Поэтому остаются справедливыми и следующие равенства (доказать самим):

Известно, что задание вектор-функции эквивалентно параметрическому заданию кривой в пространстве: , где вектор начинается в начале координат (т. О) и заканчивается в текущей точке М(x,y,z) (рис. 12).

Рис. 12

§2. Обыкновенная точка кривой

Простым отрезком пространственной кривой называется геометрическое место точек, которое в некоторой декартовой системе координат задаётся уравнениями

Здесь f и g – однозначные функции, имеющие непрерывные производные. Геометрически это означает, что наша кривая не имеет точек самопересечения или угловых точек.

Если же кривая задана параметрически, то у нас имеется три функции: x(t), y(t), z(t), , которые в этом случае также должны быть однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями.

Точка на кривой называется обыкновенной, если при заданных значениях t, достаточно близких к t₀, кривая представляет собой простой отрезок. Достаточным признаком обыкновенной точки является неравенство (в скалярной форме) или (в векторной форме).

Изучим теперь геометрический смысл дифференцирования вектор-функции . Зафиксируем значение t0, при котором мы хотим найти значение . Выбрав приращение t, мы получим новое значение параметра t: . В результате мы получили два вектора: и . Их разность есть вектор .

О М0 Рис. 13

Разделив его на , мы получим вектор, сонаправленный с . Если , то в силу непрерывности разность также будет стремиться к 0. В выражении

числитель и знаменатель стремятся к 0 одновременно. В силу дифференцируемости вектор должен стремиться к определённому пределу . Т.к. вектор есть секущая кривой, то её предельное положение является касательной к этой кривой. Направление вектора отвечает возрастанию параметра t.

Параметр t в указанных пределах играет роль системы координат на кривой: задав конкретное значение t, мы получаем конкретную точку на кривой. Но параметр t никак не связан с кривой. Мы можем сделать замену: , . И тогда получим — новая параметризация.