§4. Огибающая семейства кривых на плоскости

Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых на плоскости, заданное уравнением

Здесь С – некоторый параметр, меняющийся в промежутке . Например, — семейство окружностей радиуса 1 с центрами на оси Ох.

Огибающим отрезком Г семейства кривых называется простой отрезок для каждой точки которого можно указать определённую кривую семейства , имеющую с ним общую точку, в которой отрезок и кривая семейства касаются друг друга.

При этом мы предполагаем, что точка всегда является обыкновенной точкой семейства , т.е. для неё выполнено соотношение 1). При переходе от одной кривой семейства к другой параметр С меняется, т.е. . В наших исследованиях мы будем предполагать, что функция – непрерывно дифференцируемая функ-

Огибающая Рис. 10

ция. Будем считать также, что нигде в промежутке , а также нигде не обращается в константу.

По определению огибающей через любую точку проходит единственная кривая семейства , поэтому можно предположить, что справедливо условие . Причём это равенство является тождеством, т.к. выполняется для всех . А тождество можно почленно дифференцировать. В результате этого для любой точки огибающей получим соотношение: . Но по определению огибающей угловой коэффициент касательной должен равняться угловому коэффициенту касательной к кривой семейства в той же самой точке, т.е. , откуда .

В и речь идёт об одной и той же точке плоскости, поэтому из с помощью получаем , откуда, учитывая, что , получаем:

.

Итак, любая точка огибающей есть в то же время обыкновенная точка на кривой семейства с параметром , при этом выполнено условие .

До сих пор мы предполагали, что на кривых семейства точки заведомо обыкновенные, т.е. выполнено (мы в выкладках предполагали, что ). Oткажемся от этого ограничения, т.е. будем рассматривать геометрическое место всевозможных особых точек всевозможных кривых семейства . Тогда мы будем иметь:

Назовём отрезком особых точек простой отрезок если имеется такая функция что при каждом х параметр определяет кривую семейства, имеющую соответствующую точку отрезка своей особой точкой. В наших исследованиях мы по-прежнему ограничиваемся рассмотрением отрезков особых

С=С(х) Рис. 11

точек в достаточно малых кусках, следовательно, можно считать, что сохраняет постоянный знак (т.е. )

Итак, мы имеем:

Система может быть и несовместна (т.е. у семейства кривых нет особых точек). Например, для семейства парабол последнее из уравнений имеет вид .

Система может определять и отдельные особые точки. Например, для семейства окружностей последние два уравнения системы имеют вид Её решение даёт , т.е. окружность радиуса 0 — единственная особая точка, являющаяся изолированной особой точкой. Нас же интересует случай существования отрезка особых точек.

Продифференцируем первое из равенств по х: . Первые два слагаемых в силу справедливости системы обращаются в 0. В результате мы получаем соотношение , которое ранее было получено для огибающей семейства кривых.

Т.о. любая точка отрезка особых точек есть особая точка кривой семейства с параметром , для которого выполняется условие .

Рассмотрим теперь некоторое геометрическое место особых точек , для каждой из которых можно указать значение параметра С семейства , удовлетворяющее сразу двум условиям:

(так называемая дискриминантная кривая).

Отрезком дискриминантной кривой называется такой простой отрезок вдоль которого так указаны значения , что тождественно удовлетворяются уравнения . Другими словами, отрезок дискриминантной кривой – это её достаточно малый кусок, для которого уравнения можно разрешить относительно у и С: .

Теорема. Отрезки дискриминантной кривой, свободные от особых точек кривых семейства, есть огибающие отрезки.

Доказательство. Продифферецируем по х первое из тождеств : . Учитывая второе тождество, получим: . Т.к. точка – обыкновенная, то для неё , поэтому из последнего равенства имеем: , что означает, что касательные к отрезку и к семейству кривых совпадают. А т.к. в каждой точке плоскости касательные к кривым совпадают, мы имеем огибание.

Пример. Дано семейство кривых .

Составим уравнение дискриминантной кривой, присоединяя к заданному семейству уравнение или . Полученное равенство подставим в уравнение : или .

Мы имеем два случая:

1. С=х, тогда и у=х

2. , тогда .

После этого проверяем условия . Для нашего семейства эти условия выглядят так:

Эти условия выполнены для ветви 1. Следовательно, она содержит все отрезки особых точек. Для ветви 2 эти условия не выполнены, следовательно, это есть огибающая.

Читателю рекомендуется нарисовать само семейство , дискриминантную кривую (ветвь 1) и огибающую (ветвь 2).