§9. Полугеодезическая система координат

Как уже было показано, геодезические линии на поверхности ведут себя так же, как и прямые на плоскости: через любую точку поверхности в любом направлении можно провести единственную геодезическую линию. Уравнение этой линии является дифференциальным уравнением второго порядка . Т.е. геодезическая линия зависит от двух параметров.

Пусть наша поверхность есть плоскость. Тогда, т.к. все , уравнение в этом случае примет вид: . Тогда, после интегрирования, получаем: (k, b – константы). Зафиксировав и меняя b, получим семейство параллельных линий. Зафиксировав и меняя k, получим пучок прямых (см. рис. 51).

Выберем специальную систему координат: u – геодезические линии, а v – линии, ортогональные им. Тогда будем иметь линии, изображённые на рис. 53. В качестве координатных u-линий берём произвольное семейство геодезических линий, зависящих от одного параметра. В качестве v-линий берём линии, ортогональные u-линиям. И тогда вдоль геодезических линий , т.е. и

V=const Рис. 53

. Присоединим сюда условие ортогональности двух семейств . Тогда, согласно второй из формул (см. §2) при и учитывая , получим , т.е. , т.к. . Но для мы имеем формулы . Из них при k=2, i=j=1 получим: , откуда, в силу имеем: . Из последнего равенства следует: не зависит от , (т.е. не зависит от v).

Рассмотрим первую квадратичную форму. В старых обозначениях с учётом полученных результатов будем иметь: .

Если ввести новую переменную , то вместо будем иметь

.

Система координат, где ds вычисляется по формуле (т.е. где , а ) называется полугеодезической. Линии v=const в этом случае называются геодезическими параллелями. Они ортогональны геодезическим u-линиям. Геодезические параллели обладают следующим свойством: двигаясь по какой-либо u-линии, мы имеем v=const, т.е. dv=0, откуда из следует: ds=du. Т.е. вдоль u-линий параметр u играет роль длины дуги. Т.о. длина отрезка линии u между точками u=a и u=b равна b–a (см. рис. 54).

Рассмотрим теперь две каких-либо геодезические параллели, т.е. v-линии: u=a и u=b. Тогда заключённые между ними отрезки перпендикулярных к ним геодезическим линий (u-линий) имеют одну и ту же длину: b–a. В полугеодезической системе координат заметно упрощаются выражения для основных величин, связанных с поверхностью. Вычислим прежде всего коэффициенты . Для них

u=a Рис. 54

у нас были формулы (см. гл. VI §2). В полугеодезической системе координат , , и мы в результате с учётом получаем

, , , , , . Это символы Кристоффеля первого рода.

Далее из получаем: , , , , , . Это символы Кристоффеля второго рода.

Формула полной кривизны также принимает более простой вид: . (Вместо многоточия в этой формуле рекомендуется проделать выкладки самостоятельно).

Дифференциальное уравнение для геодезических линий нужно искать в виде . И оно принимает следующий вид: .

Укажем теперь аналитический подход к построению полугеодезической системы координат. Пусть у нас в полугеодезической системе координат задано скалярное поле на поверхности . Тогда в силу предыдущих упрощений примет вид: . Рассмотрим ещё одно скалярное поле на нашей поверхности . Вычислим . Если взять , то получим:

, .

Если мы первоначально находились в произвольных координатах , а полугеодезические координаты ищем как функции наших координат , то равенства примут вид:

.

Из уравнений можно найти , и мы получим полугеодезическую систему координат.