§5. Вычисление геодезической кривизны

По определению вектор геодезической кривизны получается в результате проектирования вектора кривизны на касательную плоскость к поверхности. Из первой формулы Френе . Т.к. кривая С лежит на поверхности , то . Здесь . В силу этого можно записать: , . В сокращённой записи последнее равенство можно записать в виде , где согласно деривационным формулам, имеем: . При проектировании на касательную плоскость исчезает слагаемые, содержащие и мы получим:

. Для вычисления геодезической кривизны нужно найти модуль последнего вектора. Наиболее просто это сделать так: , ⁸

Т.к. и , то ­– геодезическая кривизна.

В правой же части, согласно формуле , имеем . Тогда для геодезической кривизны имеем формулу: . Из этой формулы следует, что принадлежит внутренней геометрии поверхности, следовательно, это есть инвариант изгибания.

Если формулу переписать в развёрнутом виде, то получим

Рассмотрим частный случай, когда кривая на поверхности задана уравнением . Тогда .

В формуле можно вынести . В результате получим:

Но , поэтому примет вид:

Пусть поверхность S есть плоскость, на которой введена декартова прямоугольная система координат (х,у). Тогда , . В этом случае геодезическая кривизна может быть вычислена по формуле . Т.е. мы подтвердили, что в плоском случае вновь получили формулу для кривизны.

Итак, геодезическая кривизна – кривизна плоской кривой в касательном пространстве.

§6. Геодезические линии на поверхности

Геодезическая кривая – это такая линия, геодезическая кривизна которой в каждой своей точке равна нулю. Т.е. это класс «прямейших» линий на поверхности. Равенство равносильно тому, что (см. рис. 45), что возможно лишь в случаях, когда проекция вектора на касательную плоскость равна нулю. Это возможно в двух случаях:

1) направлен по нормали к поверхности,

2) k=0.

Наши рассуждения привели к утверждению: чтобы линия на поверхности была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы её главная нормаль во всех точках совпадала с нормалью к поверхности, либо эта линия была прямой. Например, для сферы геодезические линии есть окружности больших кругов, т.к. их главные нормали проходят через центр сферы, т.е. совпадают с нормалями к сфере.

Составим дифференциальное уравнение геодезических линий. Это уравнение ищем в виде: .

Тогда из следует: .

По теореме о существовании решения дифференциального уравнения второго порядка можно произвольно выбрать начальные значения и потребовать, чтобы равенство удовлетворяло этим начальным значениям. В этом случае имеется единственная функция , удовлетворяющая уравнению . Т.е. через каждую точку поверхности по каждому направлению проходит единственная геодезическая линия, уравнение которой, по крайней мере, вблизи данной точки имеет вид . «Вблизи» означает «в окрестности рассматриваемой точки». Из осторожности лучше строить по шагам. Геодезическую линию можно продолжать по поверхности или неограниченно или до края рассматриваемой поверхности, если та ограничена. Теорему существования решения дифференциального уравнения можно применять многократно, принимая за начальную точку и начальное направление для следующего шага конец уже построенного куска геодезической линии и касательное направление в нём (куске). Вблизи тех точек, где , решение следует искать в виде .

Итак, множество геодезических линий на поверхности ведёт себя так же, как и множество прямых на плоскости: через каждую точку в каждом направлении проходит одна геодезическая линия. Из уравнения следует, что семейство геодезических линий зависит от двух параметров, ибо есть дифференциальное уравнение второго порядка. Геодезическая линия есть инвариант изгибания поверхности, т.е. она принадлежит внутренней геометрии поверхности. Т.о. при изгибании геодезическая линия переходит в геодезическую.