§3. Теорема Гаусса

Здесь мы покажем, что полная кривизна может быть выражена через коэффициенты первой квадратичной формы и её производные. Т.е. полная кривизна К относится к внутренней геометрии поверхности и остаётся неизменной при её изгибании, несмотря на то, что и при изгибании меняются.

Из формулы следует: . Продифференцируем это равенство по , (i,j,k,l=1,2): . Для исключения поменяем местами индексы l и j: и вычтем из предыдущего равенства: . Положим i,j=1, k,l=2: . При остальных комбинациях значений индексов мы получим либо тождественный нуль, либо равенство .

Из следует: определённая комбинация скалярных произведений вторых производных определяется первой квадратичной формой, хотя это неверно по отношению к каждому из произведений в отдельности.

Далее покажем, что дискриминант второй квадратичной формы также определяется первой квадратичной формой.

Из следует: Тогда Здесь мы уже учли, что . Далее учтём ещё, что . Тогда получим: . Отсюда легко найти Это и есть формула Гаусса. Правая часть формулы зависит только от (т.е. от коэффициентов E,F,G первой квадратичной формы) и их первых и вторых производных от и (т.е. это есть функция первой квадратичной формы). Левая же часть в старых обозначениях есть .

Вывод из полученных результатов следующий: при задании первой квадратичной формы вторую квадратичную форму нельзя выбрать произвольно: она должна удовлетворять формуле Гаусса. Кроме этого, т.к. полная кривизна , то она, в силу формулы Гаусса, полностью определяется коэффициентами первой квадратичной формы и первыми и вторыми производными от и от неё.

Подвергнем поверхность изгибанию. Мы уже знаем, что если у каждой её точки сохранить те же значения и , что были до изгибания, то не изменятся , значит и их производные тоже не изменятся. Следовательно, и полная кривизна поверхности при её изгибании не изменится, чего нельзя сказать о главных кривизнах и .

Поверхность, представляющая собой геометрическое место прямых линий, называется линейчатой. Сами же прямые в этом случае называются образующими.

Если касательные к поверхности в точках одной и той же образующей совпадают между собой, поверхность называется развёртывающейся. Для такой поверхности К0, все точки такой поверхности являются параболическими.

Очевидна следующая теорема: любая поверхность, изгибаемая на плоскость, есть развёртывающаяся.

Доказательство очевидно: при изгибании К сохраняется, а для плоскости К=0.

§4. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности

Пусть на поверхности S проведена кривая С. При изгибании поверхности с ней изгибается

и кривая. Т.о. её кривизна меняется. Но кривизну можно разложить на два слагаемых: одно зависит от формы поверхности, т.е. меняется при изгибании (нормальная кривизна), а другое слагаемое при изгибании инвариантно (т.е. принадлежит внутренней геометрии поверхности). Это так называемая геодезическая кривизна. Для любой кривой в пространстве вектором кривизны называют вектор .

 Рис. 46

Из точки М (рис. 46) проведём векторы – касательный к С и – нормаль к S. Считаем, что главная нормаль к С – – совпадает с , т.е. . Построим вектор . Этот вектор – касательный к S, т.к. и нормален к С, т.к. .

Вектор кривизны кривой С , а также векторы и лежат в одной плоскости (нормальной плоскости кривой С). Поэтому вектор можно разложить по направлениям и :

.

Вектор называется вектором нормальной кривизны кривой С, а вектор – вектором геодезической кривизны. Длины векторов: – нормальная кривизна, – геодезическая кривизна (кривизна в касательной плоскости). Очевидно, что совпадает по направлению с вектором и равен , т.к. k – длина вектора , а  – угол между и . Т.о. длина вектора – кривизна нормального сечения. Т.о. вектор нормальной кривизны совпадает с вектором кривизны нормального сечения с той же касательной МТ. Здесь же отметим, что угол  – острый, поэтому вектор направлен в сторону вектора .

Для всех кривых на поверхности S с общей касательной МТ в точке М вектор нормальной кривизны будет общим, т.к. он совпадает с вектором кривизны нормального сечения с той же касательной МТ, а такое сечение единственно. Займёмся теперь изучением геодезической

кривизны. Через кривую проведём цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными вектору . Эта поверхность пересечёт касательную плоскость в точке М вдоль линии С0 (С0 – ортогональная проекция линии С на касательную плоскость Р к поверхности S в точке М). Касательная плоскость к построенной нами цилиндрической поверхности в точке М пройдёт через образующую, направленную вдоль вектора и касательную МТ к кривой С. Значит, нормаль к цилиндриче-

P Рис. 47

ской поверхности пройдёт вдоль направления , которое ортогонально и . Касательная к С₀ лежит в плоскости Р, т.к. С₀ – плоская кривая. Касательная к С₀ совпадает с МТ.

Итак, кривые С и С₀ лежат на цилиндрической поверхности, имеют общую касательную МТ. С₀ – нормальное сечение этой поверхности, т.к. плоскость Р, в которой лежит С₀, проходит через – нормаль к цилиндрической поверхности.

С точки зрения цилиндрической поверхности вектор – вектор нормальной кривизны кривой С, т.к. он совпадает с проекцией вектора кривизны на нормаль к цилиндрической поверхности, следовательно, совпадает с вектором кривизны нормального сечения С₀ с той же касательной МТ.

Теперь вернёмся к поверхности S и сформулируем окончательный результат. Вектор геодезической кривизны кривой С на поверхности Sсовпадает с вектором кривизны её ортогональной проекции С₀ на касательную плоскость к поверхности S в рассматриваемой точке М.