§1. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности

Пусть на поверхности S заданы криволинейные координаты u и v. Тогда

.

Само уравнение поверхности нам может быть и не задано, мы можем и не знать ничего о форме поверхности в пространстве. Но мы можем рассматривать внутреннюю геометрию поверхности, т.е. изучать те, связанные с поверхностью геометрические построения и величины, которые нам даёт первая квадратичная форма .

Так, понятие о длине отрезка кривой относится к внутренней геометрии, т.е., если кривая задана уравнениями , то

.

Кривизна же кривой на поверхности не относится к внутренней геометрии поверхности, т.к. для её вычисления требуется знание второй квадратичной формы.

К внутренней геометрии поверхности относятся понятие угла между кривыми, площадь куска поверхности и т.д.

Т.к. при изгибании поверхности имеет место изометрическое соответствие, то первая квадратичная форма не меняется, значит, внутренняя геометрия поверхности инвариантна при изгибании. Т.о. внутренняя геометрия поверхности – наука об инвариантах поверхности при её изгибании.

Представим себе поверхность как гибкую нерастяжимую плёнку. Тогда внутренняя геометрия поверхности занимается изучением свойств фигур, начерченных на этой плёнке при её всевозможных, но достаточно гладких деформациях.

Для дальнейших исследований нам понадобятся новые, более удобные для записи обозначения, которые мы сведём в следующую таблицу.

u

v

E

F

F

G

L

M

M

N

В новых обозначениях первая квадратичная форма запишется в виде . Договоримся в дальнейшем, что по символам  и  мы всегда будем подразумевать суммирование. Тогда сами знаки суммирования можно опустить, и первую квадратичную форму записать в виде: . Вторая же квадратичная форма в новых обозначениях с учётом договорённостей примет вид: .

Вспомним формулы для вычисления коэффициентов квадратичных форм: , , ; , , . В новых обозначениях они будут выглядеть более компактно: , , ; , , . В силу компактности обозначений эти формулы можно записать более кратко: , , i,j=1,2.

§2. Деривационные формулы первой группы

Эти формулы изучают строение векторов .

Рассмотрим вектор . Он имеет первые производные и , вторые производные , (см. таблицу). Каждый из можно разложить по векторам , и :

.

Очевидно, коэффициенты , т.к. . Кратко это можно записать так: .

Умножим скалярно на (т.к. ), т.е. коэффициенты второй квадратичной формы . Т.о. в найдено. Осталось найти шесть коэффициентов . Обозначим скалярное произведение . Очевидно, что . Умножим скалярно на и : (i,j=1,2). Решив эту систему, получим: Итак, величины выражаются через с помощью формул . И наоборот, с помощью формул из величин можно найти .

Далее имеем: . Здесь каждый из индексов равен либо 1, либо 2. Но это значение справедливо для всех трёх формул. Продифференцируем первое равенство по , второе – по , третье – по : Сложим почленно второе и третье равенство, затем вычтем первое. С учётом симметрии индексов у и получим: или . Это одна из основных формул теории поверхностей. Её смысл заключается в том, что скалярное произведение выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы (точнее, через производные от них).

Выражение называется символами Кристоффеля первого рода.

Если подставить в , можно получить формулы, выражающие через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные . Читателю рекомендуется сделать это самостоятельно и получить в результате символы Кристоффеля второго рода.

Итак, мы определили все коэффициенты в формуле . Их называют первой группой деривационных формул Гаусса (от слова derive – производная).