§15. Асимптотические линии

Мы уже знаем, что асимптотическое направление – направление, касательное нормальному сечению и имеющее нулевую кривизну в этой точке, т.е.

.

Последнее равенство эквивалентно условию . Итак, чтобы , необходимо и достаточно выполнения условия для отношения дифференциалов вдоль нормального сечения. Но и при смещении из данной точки по произвольной кривой условие остаётся необходимым и достаточным, чтобы касательная к этой кривой шла по асимптотическому направлению. Кривая на поверхности, касательная к которой в каждой точке направлена по асимптотическому направлению в этой точке, называется асимптотической линией.

Возможны три случая поведения асимптотических линий.

I. Поверхность состоит из э л л и п т и ч е с к и х т о ч е к.

Тогда К>0, . В этом случае невыполнимо ни для каких значений .

Действительно, в этом случае и можно записать в виде: . Т.к. содержимое в квадратных скобках положительно, то вторая квадратичная форма имеет знак . Т.о. для эллиптической части поверхности нет асимптотических направлений.

II. Поверхность состоит из г и п е р б о л и ч е с к и х т о ч е к.

Тогда К<0, . В этом случае асимптотические линии существуют и образуют сеть на поверхности.

Если , то можно переписать в виде . Дискриминант этого уравнения для гиперболических точек положителен, и мы имеем два асимптотических направления, которые являются корнями нашего квадратного уравнения.

Если , а , из получим . Опять квадратное уравнение с двумя вещественными корнями.

Если же, наконец, , то асимптотические линии совпадают с выбранной системой координатных линий.

Теорема. Чтобы линия на поверхности была асимптотической, необходимо и достаточно, чтобы она или была прямой, или имела в каждой точке касательную плоскость к поверхности своей соприкасающейся плоскостью.

Доказательство.

Для любой кривой на поверхности справедлива формула для кривизны (см. §6): . Чтобы линия была асимптотической, необходимо и достаточно выполнения условия , откуда следует, что либо а) k=0 – линия является прямой, либо

б) cоs-=0, т.е. угол между нормалью к поверхности и главной нормалью к кривой равен . В этом случае вектор , т.е. лежит в касательной плоскости. Но вектор тоже лежит в касательной плоскости, т.е. эта плоскость проходит через векторы и . Следовательно она есть соприкасающаяся.

Теорема доказана.

III. Поверхность состоит из п а р а б о л и ч е с к и х т о ч е к.

К=0, . Но в этом случае , иначе бы и М=0, что невозможно (мы не рассматриваем точки закругления).

Пусть L0. Тогда . Дискриминант уравнения , значит, уравнение имеет единственный корень . Т.о. на поверхности есть только одна асимптотическая линия. Т.е. через каждую точку такой поверхности проходит только одна асимптотическая линия. Можно показать, что это – прямая.

Гл. VI. Внутренняя геометрия поверхности

Пусть в пространстве имеется две поверхности S и . Установим между точками этих поверхностей взаимно однозначное соответствие так, что длина любой кривой на поверхности S равнялась длине соответствующей кривой на поверхности . Такое отображение поверхности S в называется изгибанием. Само соответствие S и в этом случае называется изометрическим

Не все поверхности допускают изометрическое соответствие между собой. Пимером служат сфера и плоскость: нельзя кусок сферы изогнуть на часть плоскости.