
- •Введение
- •Гл. I. Сведения о кривых на плоскости §1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой
- •§2. Строение кривой в окрестности обыкновенной точки
- •§3. Строение кривой вблизи особых точек
- •§4. Огибающая семейства кривых на плоскости
- •Гл. II. Дифференцирование вектор-функций. §1. Основные определения
- •§2. Обыкновенная точка кривой
- •§3. Дифференциал вектор-функции
- •§4. Формула Тейлора для вектор-функции
- •§5. Длина дуги
- •§6. Касание кривых
- •Гл. III. Теория кривизны плоских кривых §1. Соприкасающаяся окружность
- •§2. Кривизна плоской кривой
- •§3. Векторы
- •§4. Формулы Френе
- •Гл. IV. Теория кривизны пространственных кривых §1. Касательные и нормали
- •§2. Точки распрямления
- •§3. Соприкасающаяся плоскость
- •§4. Сопровождающий трёхгранник
- •§5. Леммы об окружностях.
- •§6. Соприкасающаяся окружность
- •§7. Кривизна пространственной кривой
- •§8. Формулы Френе. Кручение
- •§9. Формулы для вычисления кривизны и кручения
- •§10. Натуральные уравнения кривой
- •Гл. V. Введение в теорию поверхностей §1. Криволинейные координаты на поверхности
- •§2. Кривые на поверхности
- •§3. Первая основная квадратичная форма
- •§4. Вычисление площади поверхности
- •§5. Вторая квадратичная форма на поверхности
- •§6. Основная формула для кривизны кривой на поверхности
- •§7. Теорема Менье
- •§8. Линейная вектор-функция на плоскости. Собственные функции и собственные числа
- •§9. Главные направления вектор-функции
- •§10. Исследование кривизны нормальных сечений
- •§11. Формула Эйлера. Главные кривизны
- •§12. Вычисление главных кривизн и главных направлений
- •§13. Три типа точек на поверхности
- •§14. Формулы для вычисления коэффициентов квадратичных форм
- •§15. Линии кривизны
- •§15. Асимптотические линии
- •Гл. VI. Внутренняя геометрия поверхности
- •§1. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности
- •§2. Деривационные формулы первой группы
- •§3. Теорема Гаусса
- •§4. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности
- •§5. Вычисление геодезической кривизны
- •§6. Геодезические линии на поверхности
- •§7. Векторы на поверхности
- •§8. Свойства параллельного перенесения
- •§9. Полугеодезическая система координат
- •Литература
§14. Формулы для вычисления коэффициентов квадратичных форм
Пусть нам поверхность . Тогда
По определению коэффициентов первой квадратичной формы
Для коэффициентов
второй квадратичной формы у нас были
формулы
Расписав смешанные произведения через
координаты соответствующих векторов,
получим:
По формулам и
можно вычислить коэффициенты первой
и второй квадратичных форм в общем
случае. Важным частным случаем является
тот, когда функция задана явно:
.
В этом случае
.
Частные производные
Далее
,
,
,
.
Если переменные
х,у
меняются в некоторой области D
плоскости xOy,
то площадь соответствующей части
поверхности выразится формулой
.
Вычислим вектор
нормали к поверхности:
7).
Его длина равна
.
Поэтому единичный вектор нормали легко
получить:
.
И тогда коэффициенты второй квадратичной
формы можно вычислить по формулам:
,
,
.
После этого формула для полной кривизны примет вид:
.
§15. Линии кривизны
Линией кривизны называется кривая, в каждой точке которой касательная направлена по одному из двух главных направлений в этой точке поверхности.
Пусть кривая на
поверхности задана уравнениями
,
где t
– параметр вдоль кривой. Тогда в любой
точке кривой касательная должна идти
по главному направлению в этой точке,
для чего необходимо и достаточно, чтобы
и
при смещении вдоль кривой удовлетворяли
условию
или в развёрнутом виде (см. §12):
.
Точки закругления
в наших исследованиях, как и раньше, мы
исключаем. Тогда последнее равенство
нигде в тождество не обращается, т.е.
его коэффициенты одновременно не могут
обратиться в нуль. Пусть, например, в
рассматриваемой точке
.
Тогда из можно получить
.
В §12 показано, что при наших предположениях
это уравнение имеет два различных
вещественных корня:
,
.
Т.е. вдоль линии кривизны справедливо одно из двух равенств .
В курсе теории дифференциальных уравнений доказывается, что при сделанных предположениях через каждую точку поверхности проходит по одной из кривых, удовлетворяющих системе . Совокупность этих кривых образуют сеть взаимно ортогональных кривых (главные направления ортогональны друг другу).
Если в
,
то, в силу наших
предположений,
,
следовательно, или
,
или
.
А это есть координатные линии на
поверхности. Справедлива следующая
теорема:
Чтобы
координатная сеть (u,v)
на поверхности
совпадала с сетью линий кривизны,
необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство.
Достаточность следует из равенств .
Необходимость.
Пусть координатные линии являются
линиями кривизны. Тогда должно выполняться
условие , которое вдоль линий v=const
запишется
в виде
.
Аналогично, вдоль линий u=const
получим
.
Дальше рассуждаем
от противного. Пусть
.
Тогда для
нахождения F
и M
имеем систему однородных уравнений .
В силу предположения её определитель
или
.
Т.е. все три коэффициента уравнения
обращаются в нуль, что невозможно, т.к.
точки закругления мы из рассмотрения
исключили. Т.о. предположение неверно.
Теорема доказана.