§14. Формулы для вычисления коэффициентов квадратичных форм

Пусть нам поверхность . Тогда

По определению коэффициентов первой квадратичной формы

Для коэффициентов второй квадратичной формы у нас были формулы Расписав смешанные произведения через координаты соответствующих векторов, получим:

По формулам и можно вычислить коэффициенты первой и второй квадратичных форм в общем случае. Важным частным случаем является тот, когда функция задана явно: . В этом случае . Частные производные Далее , , , .

Если переменные х,у меняются в некоторой области D плоскости xOy, то площадь соответствующей части поверхности выразится формулой .

Вычислим вектор нормали к поверхности: ⁷⁾. Его длина равна . Поэтому единичный вектор нормали легко получить: . И тогда коэффициенты второй квадратичной формы можно вычислить по формулам:

, , .

После этого формула для полной кривизны примет вид:

.

§15. Линии кривизны

Линией кривизны называется кривая, в каждой точке которой касательная направлена по одному из двух главных направлений в этой точке поверхности.

Пусть кривая на поверхности задана уравнениями , где t – параметр вдоль кривой. Тогда в любой точке кривой касательная должна идти по главному направлению в этой точке, для чего необходимо и достаточно, чтобы и при смещении вдоль кривой удовлетворяли условию или в развёрнутом виде (см. §12):

.

Точки закругления в наших исследованиях, как и раньше, мы исключаем. Тогда последнее равенство нигде в тождество не обращается, т.е. его коэффициенты одновременно не могут обратиться в нуль. Пусть, например, в рассматриваемой точке . Тогда из можно получить . В §12 показано, что при наших предположениях это уравнение имеет два различных вещественных корня:

, .

Т.е. вдоль линии кривизны справедливо одно из двух равенств .

В курсе теории дифференциальных уравнений доказывается, что при сделанных предположениях через каждую точку поверхности проходит по одной из кривых, удовлетворяющих системе . Совокупность этих кривых образуют сеть взаимно ортогональных кривых (главные направления ортогональны друг другу).

Если в ,

то, в силу наших предположений, , следовательно, или , или . А это есть координатные линии на поверхности. Справедлива следующая

теорема: Чтобы координатная сеть (u,v) на поверхности совпадала с сетью линий кривизны, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Достаточность следует из равенств .

Необходимость. Пусть координатные линии являются линиями кривизны. Тогда должно выполняться условие , которое вдоль линий v=const запишется в виде . Аналогично, вдоль линий u=const получим .

Дальше рассуждаем от противного. Пусть . Тогда для нахождения F и M имеем систему однородных уравнений . В силу предположения её определитель или . Т.е. все три коэффициента уравнения обращаются в нуль, что невозможно, т.к. точки закругления мы из рассмотрения исключили. Т.о. предположение неверно.

Теорема доказана.