§2. Строение кривой в окрестности обыкновенной точки

Пусть точка — обыкновенная точка. Тогда существует промежуток , что кривую можно представить в виде . На промежутке возьмём точку , . Тогда, согласно формуле Тейлора, .

a b Рис. 3

Остаточный член имеет вид: . Т.е. выражается через (а значит и через х) в виде многочлена п-ной степени, если отбросить остаточный член. Точность равенства может быть различной.

Согласно идеологии дифференциальной геометрии, геометрические объекты мы изучаем в бесконечно малой окрестности исследуемой точки. Поэтому можно начать с самой грубой оценки поведения кривой, положив п=1. Тогда из мы получим: или

,

где . Если в пренебречь бесконечно малыми второго порядка, мы получим уравнение касательной к кривой: .

Изучим уклонение MN кривой от её касательной . Из и имеем (см. рис. 4):

.

Если , то в её окрестности (т.е. в точке ) также будет положительна, ибо мы рассматриваем малые окрестности точки А. Т.о. в окрестности точки А влево и вправо от точки , т.е. кривая выпукла вниз (т.е. вогнута). Другими словами, вся кривая

в окрестности точки А расположена над касательной. Допустив, что и рассуждая аналогично, получим, что в этом случае кривая будет выпукла вверх (или просто выпукла), т.е. вся кривая в окрестности точки А будет расположена под касательной. В обоих случаях, как мы видим, уклонение кривой от касательной есть бесконечно малая величина второго порядка малости:

А х0 х0+х Рис. 4 x

.

Рассмотрим случай . Допустим, что . Тогда формула Тейлора даёт . В этом случае уклонение выразится формулой . Это есть величина . В этом случае точка А называется точкой распрямления.

Продолжая исследовать уклонения, нужно учитывать, что слева от точки х₀ приращение х<0, cправа – х>0.

Читателю рекомендуется самостоятельно исследовать случай, когда в т. х₀

, а .

§3. Строение кривой вблизи особых точек

Пусть наша кривая задана уравнением и пусть точка А – особая, т.е. в ней

Вторые производные в этой точке, вообще говоря, отличны от 0. Т.е. выполнено неравенство . В этом случае говорят, что т. А – двойная особая точка. Если же в точке А выполнено и дополнительно ещё , то говорят о тройной особой точке.

Пусть у нас точка А – особая. Как себя ведёт кривая в её окрестности, мы не знаем. Допустим, что из этой кривой можно выделить простой отрезок, содержащий точку А. Этот отрезок имеет уравнение . Т.к. часть (простой отрезок кривой) входит в целое (всю кривую), то очевидно для этой части справедливо , т.е. Всякое тождество бесконечно дифференцируемо. Поэтому можно записать цепочку равенств:

Рассмотрим эту цепочку равенств в особой точке . Предположим, что это – двойная особая точка. Тогда здесь выполнено , а из вторых производных, например, . Тогда для этой точки из первых двух равенств имеем:

Из первого равенства найти нельзя (это тождество, т.к. для точки А справедливо ). Но это можно сделать из второго равенства.

Итак, если у нас двойная особая точка, угловой коэффициент её касательной удовлетворяет квадратному уравнению

.

Для коэффициентов этого уравнения возможны следующие случаи:

1) .Тогда дискриминант уравнения D<0 и корни его комплексно сопряжённые (т.е. вещественного значения углового коэффициента нет). В этом случае особая точка А – изолированная. В этом случае простого отрезка кривой, проходящего через точку А, вообще нет. Пример. (рис. 5). Точка – изолированная особая точка.	Рис. 5
2) .Тогда дискриминант уравнения D>0 и корни его вещественные и различные. Можно ожидать существование двух взаимно пересекающихся простых отрезков кривой. В этом случае особая точка А называется узловой или точкой самопересечения (рис. 6). Пример. – лемниската.	Рис. 6

3) .Тогда дискриминант уравнения D=0 и корни его вещественные и равные. В этом случае различные ветви кривой, подходя к особой точке, имеют общую касательную с угловым коэффициентом . Этот случай встречается в геометрически различных формах. Рассмотрим некоторые примеры.

Рис. 7	Пример 1. (рис. 7). В точке , . Т.о. точка О – двойная особая точка. Для неё . Уравнение имеет вид: . Отсюда имеем, что касательная – ось ОХ. В этом случае говорят, что точка О – точка возврата 1-го рода. Ветви кривой расположены по разные стороны от касательной к этой кривой. Этот случай наиболее типичен. Но возможны и другие случаи.
Х Рис. 8	Пример 2. (рис. 8). Как и в предыдущем случае, в точке , . Т.е. опять . Но ветви кривой в окрестности т. О расположены по одну сторону от касательной к этой кривой. Это точка возврата 2-го рода. Пример 3. (рис. 9). График, очевидно, это совокупность двух парабол: и . В этом случае точка О называется точкой самоприкосновения.
Рис. 9	Случай тройной особой точки читателю рекомендуется исследовать самостоятельно.