§13. Три типа точек на поверхности

I. Пусть в заданной точке полная кривизна . Первая квадратичная форма положительно определена ( ). Поэтому её определитель . Но тогда из получим, что . В этом случае рассматриваемая точка называется эллиптической.

Т.к. K>0, то . Пусть главные кривизны и . Тогда оба главных направления загибаются в одну и ту же сторону – сторону вектора (см. рис. 43). Из формулы Эйлера следует, что для всех нормальных сечений. Т.е. все нормальные сечения загибаются в одну и ту же сторону.

Если же и , то , т.е. все нормальные сечения загибаются в сторону вектора – . Кстати, т.к. выбор направления условен, то можно принять – за и получим предыдущий случай.

Итак, в случае I поверхность в окрестности точки М располагается по одну сторону от своей касательной плоскости Асимтотических направлений для эллиптической точки нет. II. K<0. Такая точка называется гиперболической (рис. 44). Здесь , т.е. . Пусть для определённости , а .	Главное направление k2 Рис. 43
Т.о. одно из главных направлений загибается в одну сторону с вектором , а другое – в противоположном. Т.к. , то найдётся угол , такой, что . Отсюда . Из этих направлений одно значение  разделяет направления с , другое – с . Эти значения 	Главное напр. Асимптот. напр. Асимптот. напр. –  Рис. 44

симметричны относительно главного направления.

Итак, в точке М мы имеем два нормальных сечения, имеющих в этой точке кривизну, равную нулю. Касательные к этим сечениям в точке М расположены симметрично относительно главных направлений и образуют асимптотические направления в данной точке. Из двух пар вертикальных углов, образуемых асимптотическими направлениями, одна пара заключает направления, отвечающие нормальным сечениям с , другая пара заключает направления, отвечающие нормальным сечениям с . В первом случае поверхность загибается вниз, т.е. в сторону, противоположную вектору , во втором – в сторону вектора ., т.е. вверх.

Т.о. в окрестности гиперболической точки поверхность имеет седлообразную форму.

III. К=0. Такая точка называется параболической. Здесь . Здесь один из сомножи-

телей равен нулю6). Пусть для определённости, , а , т.е. одно из главных сечений загибается книзу от вектора , а другое, в силу , является точкой распрямления. Асимптотическое направление совпадает с главным направлением . Других асимптотических направлений в этом случае нет. Совокупность параболических точек на поверхности, если они имеются, образуют кривую, отделяющую эллиптические точки поверхности от гиперболических.

Рис. 45