§11. Формула Эйлера. Главные кривизны

Выясним геометрический смысл формулы , в частности, коэффициентов .

Пусть . Если , то вектор . Тогда , где – кривизна нормального сечения в первом главном направлении. Если же , то и , где – кривизна нормального сечения во втором главном направлении. Итак, при и при формула принимает вид .

В основном случае (мы его сейчас и рассматриваем) .

Нормальные сечения в данной точке поверхности, касательные к которым идут по главным направлениям, называются главными сечениями, а их кривизны – главными кривизнами в данной точке поверхности.

В силу последних рассуждений формулу можно переписать в виде:

.

Эта формула носит название формулы Эйлера. Из неё можно получить

.

Пусть для определённости . Т.к. достигает максимума при и минимума при или , то при наших предположениях максимальное значение при и минимальное ( ) – при или .

При замене  на – значение не меняется. Т.е. нормальные сечения, симметричные относительно главных направлений, имеют одинаковую кривизну. Т.е.в наших исследованиях нам достаточно рассмотреть случай возрастания  от 0 до . В этом случае растёт от 0 до 1., т.е. растёт от до . В результате из следует: при повороте касательной нормального сечения от до кривизна нормального сечения монотонно растёт от минимального значения до максимального .

Пусть мы делаем бесконечно малое смещение по поверхности из точки М в каком-либо из главных направлений. При этом . Т.к. мы смещаемся вдоль главного направления, то либо . В силу или , т.е. в случае бесконечно малого смещения в одном из главных направлений векторы и коллинеарны и имеет место одна из формул (формулы Родрига).

Справедливо и обратное утверждение: если для какого-то случая бесконечно малого смещения из заданной точки М по поверхности векторы и коллинеарны, т.е. то это смещение сделано вдоль главного направления, а

В исключительном случае, когда , то кривизна во всех направлениях одинакова. В этом случае точка М называется омбилической (точкой закругления).

§12. Вычисление главных кривизн и главных направлений

Пусть на заданной поверхности в заданной точке известны коэффициенты первой и второй квадратичных форм. Проставим себе цель найти главные направления и главные кривизны. Мы знаем, что для главных направлений справедливы формулы Родрига , которые в развёрнутом виде можно записать так: . Умножим это равенство скалярно сначала на , затем на : Ранее (§5) мы показали, что , , . Поэтому предыдущие равенства можно записать проще:

Из этой системы можно найти k и (или ). Исключив сначала k, получим уравнение:

.

Раскрыв детерминант, получим .

Это уравнение можно записать и так: .

Эти рассуждения справедливы, если у нас общий случай, т.е. . Если же у нас исключительный случай, когда любое касательное направление является главным. Т.о. для точки закругления выполнено , т.е. две строки в определителе пропорциональны. То есть пропорциональны коэффициенты двух квадратичных форм.

Теперь продолжим изучение общего случая. Тогда хотя бы один из коэффициентов уравнения отличен от нуля. Пусть MG–NF0. Тогда из следует, что . Разделив это уравнение на , получим квадратное уравнение относительно .

Если LF–ME0, то из можно получить квадратное уравнение относительно . Если же коэффициенты при и при равны нулю, то из следует, что . Т.е. для одного из главных направлений , для другого – . В этом случае главные направления совпадают с направлениями координатных линий.

Т.о. во всех рассмотренных случаях мы получаем два значения для (или ), отвечающие двум главным направлениям в данной точке поверхности.

Найдём теперь k. Из системы имеем: Эта система однородная относительно du и dv. Она совместна (мы показали выше, что её решение ненулевое), следовательно, определитель этой системы равен нулю: , или . По теореме Виета , . Выражение называется полной (гауссовой) кривизной. Выражение называется средней кривизной поверхности.