§9. Главные направления вектор-функции

Вернёмся к изучению поверхности . Нормальный единичный вектор в точке М . При бесконечно малом смещении из неё по поверхности векторы и получат приращения, главные части которых есть дифференциалы: Оба этих дифференциала лежат в касательной плоскости, определяемой векторами , а , т.к. . В этой (касательной) плоскости всегда можно определить линейную вектор-функцию, такую, чтобы (см. лемму предыдущего параграфа). Эту вектор-функцию (она единственная) будем называть основной. Можно показать, что она будет симметрической.

Собственные векторы основной вектор-функции называются главными направлениями на поверхности.

Т.к. собственные векторы удовлетворяют условию , то главные направления основной вектор-функции можно определить из условия .

Как следует из предыдущего параграфа, при имеется ровно два главных направления. Если же , то любое направление будет главным.

Главные направления в рассматриваемой точке будем обозначать и , т.е. .

§10. Исследование кривизны нормальных сечений

Из теоремы Менье следует, что кривизна произвольной кривой на поверхности в заданной точке выражается через кривизну нормального сечения в той же точке. Теперь мы займёмся изучением того, как будет меняться кривизна нормального сечения в зависимости от его направления.

Главная нормаль к нормальному сечению совпадает с нормалью к поверхности: . Т.к. мы рассматриваем всевозможные нормальные сечения в данной точке, может оказаться, векторы в различных случаях могут быть направлены в противоположные стороны. Поэтому и мы использовали знак . Т.о. угол  между векторами и может быть равен 0 или  , т.е. cos= 1. Т.о. кривиз-

Касательная Касательная Укло- нение Рис. 41

не нормального сечения будем приписывать знак , если и знак –, если (см. рис. 41).

Кривизну нормального сечения со знаком будем обозначать .

Итак, если , то нормальное сечение уклоняется от своей касательной в сторону вектора , если же – в сторону вектора (см. рис. 41).

Мы знаем, что (формула ). Здесь , ибо . Учитывая, что cos= 1 при и cos= –1 при , получим, что

.

Формула определяет кривизну нормального сечения в зависимости от точки поверхности (коэффициенты квадратичных форм) и направления касательной .

Исследуем формулу . Считаем, что точка М неподвижна, а касательная вращается в касательной плоскости поверхности. Пусть – единичный касательный вектор нормального сечения в точке М, и – единичные главные направления. Ясно, что . Наша задача – установить явный вид этой зависимости. Заменим в квадратичные формы их первоисточниками (т.е. соответствующими скалярными произведениями). Тогда будем иметь:

Рис. 42

. можно заменить соответствующей основной вектор-функцией: . Тогда будем иметь . Но , а . Поэтому

и . Т.к. и – собственные векторы линейной вектор-функции А, то . Тогда (кривизна нормального сечения) с учётом выразится формулой: .