§7. Теорема Менье
В настоящем разделе мы займёмся изучением зависимости кривизны k от положения соприкасающейся плоскости при заданной касательной. Пусть через точку М заданной поверхности проходит кривая Г, лежащая на этой поверхности. Эта кривая имеет – единичный вектор по главной нормали, С – центр кривизны этой кривой. Нормальным сечением поверхности в точке М назовём кривую, полученную в результате пересечения поверхности с нормальной плоскостью, т.е. плоскостью, проходящей через нормаль в точке М. Конечно, таких плоскостей бесконечно много. Поэтому для получения нужного нам сечения выберем нормальную плоскость, |
С0 Рис. 40 |
проходящую через касательную МТ. В результате пересечения данной нормальной плоскости с поверхностью мы получим кривую Г0. Ясно, что эта кривая – плоская.
Когда кривизна k0 нормального сечения Г0 в точке М равна нулю, направление его касательной МТ называется асимптотическим направлением в точке М.
Мы в дальнейшем будем считать, что k0>0. Тогда для кривой Г0 плоскость TMN будет соприкасающейся и главной нормалью к Г0 будет перпендикуляр MN к рассматриваемой плоскости.
Применим формулу
к кривым Г
и Г0.
Правые части этих формул равны, т.к. коэффициенты квадратичных форм вычисляются в одной и той же точке, отношение вычисляется для одной и той же касательной МТ, значит,
.
Т.к. k>0,
k0>0,
значит, и
,
т.е.
– острый
угол.
Формулу можно
переписать и по-другому:
.
Эта формула
составляет суть теоремы Менье.
Т.к.
(см. рис. 40), то из следует, что в
.
Т.о.
,
следовательно СС0
перпендикулярна соприкасающейся
плоскости кривой Г,
т.к. эта плоскость проходит через МС
и МТ.
В этом заключается геометрический смысл теоремы Менье.
§8. Линейная вектор-функция на плоскости. Собственные функции и собственные числа
Линейной
вектор-функцией называется закон, по
которому каждому вектору
ставится
в соответствие некоторый вектор
.
Этот закон обладает следующими
свойствами:
для любых двух векторов и
(линейность)для любого вектора и любого числа
.
Лемма о
вектор-функции.
Пусть даны
векторы
.
Тогда
существует единственная вектор-функция
А, такая, что
.
Без доказательства.
Линейная
вектор-функция называется симметрической,
если для любых векторов
и
справедливо
равенство
.
Ненулевой вектор
называется
собственным
вектором линейной вектор-функции А,
если
существует такое число ,
что выполнено равенство:
.
В этом случае
называется собственным
значением вектор-функции А.
Очевиден факт:
если
–
собственный вектор линейной вектор-функции
А, то
–
тоже собственный вектор вектор-функции
А для того же собственного значения .
Поэтому вместо понятия “собственный
вектор” употребляют выражение
«собственное направление».
Из курса линейной
алгебры известно, что симметрический
оператор (в нашем случае это вектор-функция
А)
имеет два взаимно перпендикулярных
собственных вектора
и
.
Это мы сейчас покажем.
Применим нашу
вектор-функцию
к ортам прямоугольной системы координат
на плоскости:
Тогда
.
Для симметрической вектор-функции
.
Собственные числа
ищутся из характеристического уравнения
(известно из курса линейной алгебры)
или
.
Решая это квадратное уравнение, получим
корни
.
Они вещественны и различны, если
дискриминант положителен. А это будет
в случае, если
и
.
После нахождения
собственных чисел ищем собственные
векторы
из векторного уравнения
или, расписав его в координатах:
В случае
,
подставляя оба корня последовательно
в систему , найдём два собственных
вектора
и
.
Окончательно, с точностью до постоянного
множителя,
Покажем, что
.
Т.к.
и
– собственные векторы вектор-функции
А,
то
,
.
Умножим первое равенство скалярно на
,
второе – на
.
Тогда
,
.
В силу симметрии вектор-функции А
левые части этих равенств одинаковы.
Тогда, вычтя из одного равенства другое,
получим:
.
Но
,
следовательно,
.
Рассмотрим теперь
случай
.
Здесь дискриминант квадратного уравнения
равен нулю, поэтому необходимо, чтобы
и
.
Из выражения для корней квадратного
уравнения следует, что
и уравнения превращаются в тожества,
т.е. любые
будут удовлетворять этой системе,
следовательно, любой
вектор будет собственным вектором
оператора А.
Т.о. равенство
справедливо
для любого
вектора
.
И вектор-функция А
является простым умножением вектора
на постоянное число а.
Плоскость с начерченными на ней векторами
вектор-функцией А
подвергается преобразованию подобия.
Любое направление на этой плоскости
будет собственным.
Можно, конечно, найти и два взаимно ортогональных собственных направления – это будут любые два ортогональных направления.