§5. Вторая квадратичная форма на поверхности

Пусть ММ – некоторая кривая на поверхности (см. рис. 38). Для простоты допустим, что параметром для этой кривой принята длина дуги s, т.е. текущие координаты u и v суть . Тогда . Пусть длина кривой . Соответствующее приращение вектора ,

P M Рис. 38

где все производные берутся в точке М. Если в более ранних исследованиях мы ограничивались разложением по формуле Тейлора до бесконечно малых первого порядка (т.е. поверхность заменяли касательной плоскостью), то сейчас в мы будем учитывать и бесконечно малые второго порядка.

Вектор – единичный вектор нормали к касательной плоскости в точке М. Вектор . Он характеризует уклонение кривой от касательной плоскости. Т.к. , то l есть величина этого уклонения.

. В силу это равно правой части этой формулы. Умножим последнее равенство скалярно на и учтём, что . Тогда для уклонения l получим: Т.о. величина уклонения поверхности от касательной плоскости есть бесконечно малая второго порядка .

Найдём . Для этого вычислим . Из , далее . Тогда . Если обозначить скалярные произведения в правой части через L,M,N соответственно, то запишется в виде: .

Вектор можно определить формулой . Тогда, согласно . После этого скалярные произведения, определяющие L,M,N, можно записать так: . И уклонение l поверхности от касательной плоскости выразится формулой:

. Здесь .

Можно показать (читатель может это сделать самостоятельно), что коэффициенты второй квадратичной формы можно вычислять по формулам: , , . Тогда вторую квадратичную форму можно записать в виде:

.

§6. Основная формула для кривизны кривой на поверхности

Рассмотрим . Из первой формулы Френе следует, что , где – единичный вектор главной нормали кривой. Тогда скалярное произведение (см. рис. 39), т.к. и единичные векторы. Используя , получим . Но определяется первой квадратичной формой, поэтому последнее равенство даёт: .

М Т Рис. 39

Если точка М на кривой задана, то коэффициенты первой и второй квадратичных форм определены. Из формулы видно, что правая часть зависит только от отношения (или ). Это отношение характеризует направление касательной к кривой смещения ММ (см. §2 гл.V).

Итак, пусть касательная МТ задана. Тогда правая часть вполне определена. Предположим, что соприкасающаяся плоскость к кривой ММ (плоскость, проходящая через векторы и ) также указана. Тогда вполне определена главная нормаль как перпендикуляр к касательной в точке М. Следовательно, определен и угол  между главная нормалью в положительном направлении и нормалью к поверхности. Т.к. k>0, то знак также вполне определён. Разделив обе части на , мы получим значение кривизны k кривой ММ.

Формула устанавливает зависимость между направлением касательной , положением соприкасающейся плоскости и кривизной кривой k.