§4. Вычисление площади поверхности

Возьмём на поверхности какую-либо область D, ограниченную кусочно-гладкой кривой (см. рис. 37). Эту область можно рассматривать одновременно и как область изменения параметров u и v, т.е. как область, образованную парами значений u и v, отвечающими точкам области D. Покроем D криволинейной сеткой из координатных линий. Эта сетка образует на поверхности криволинейные параллелограммы. Один из таких параллелограммов изображён отдельно. Его вершины имеют координаты , , . На границах области параллелограммов не будет, но при u0 и v0 их роль сводится к нулю.

Заменим теперь каждый из криволинейных параллелограммов плоским, построенным на векторах и . Этот прямолинейный параллелограмм, очевидно, лежит в касательной плоскости к поверхности, построенной в точке М. Этот параллелограмм приближённо заменяет криволинейный, причём, с измельчением u и v всё точнее. Но площадь прямолинейного параллелограмма равна . Известно, что , откуда . Применим полученный результат к нашим векторам:

D M1 М(u,v) M Рис. 37

, откуда . Воспользуемся обозначениями .

Получим формулы

и . Если последнюю формулу просуммировать по всем криволинейным параллелограммам, покрывающим область D, а затем устремить и к нулю, в пределе получим площадь области D на заданной поверхности. Указанный предел, очевидно, существует, т.к. функция есть непрерывная функция координат u и v на поверхности. А из теории кратных интегралов этого достаточно для существования предела. И тогда

.

Выводы. Пусть в некоторой системе криволинейных координат u и v задана первая квадратичная форма . Тогда, хотя о самой поверхности мы ничего не знаем, не знаем ничего также о её положении в пространстве, её форме, не знаем даже её уравнения ни в какой системе координат трёхмерного пространства, мы можем вычислять:

1. длины кривых на поверхности,

2. углы между кривыми на поверхности,

3. площади областей на поверхности.

Геометрические свойства поверхности, которые можно установить исходя только из задания первой квадратичной формы, образуют внутреннюю геометрию поверхности.

Замечания. Из формулы следует, что первая квадратичная форма выражает , т.е. она положительна для любых du и dv, отличных от нуля. Следовательно, её дискриминант . Это, кстати, следует и из формулы . Далее, из формулы для любых du, dv, u и v . И наконец, если мы ищем ds вдоль координатной линии v=const, то dv=0 и из следует, что E>0. Аналогично устанавливается и положительность G.

Пример 1. Пусть нам известна в плоскости у=0 (плоскость Oxz) некоторая кривая С, заданная параметрическими уравнениями (Условие устраняет возможность пересечения кривой с осью Oz).

Пусть кривая С вращается вокруг оси Oz. Тогда положение точки на поверхности определяется параметрами u и v, где v – угол вращения. Тогда координаты точки М на поверхности определятся формулами Вектор примет вид:

.

Для построения первой квадратичной формы найдём производные где вектор .

После этого коэффициенты первой квадратичной формы примут вид: , . Тогда первая квадратичная форма будет выглядеть так: .

Из того, что F=0, следует, что координатные линии ортогональны. Для нашей задачи координатные линии u=const являются меридианами, линии же v=const – параллелями.

Пример 2. В качестве кривой вращения возьмём полуокружность радиуса R с центром в точке О. Тогда Согласно , в этом случае первая квадратичная форма примет вид: ., т.е. . Здесь координатные линии u и v играют роль широты и долготы на сфере.