§2. Кривые на поверхности

Геометрическое место точек на поверхности, криволинейные координаты которого определяются некоторыми уравнениями , называется кривой линией на поверхности. В векторном виде . Можно положить, например, t=u или t=v. Особое место на поверхности отводится координатным линиям u=const, v=const. Каждая из них образует семейство линий (см. рис. 34). Оба семейства линий вместе называют сетью.

V – const U – const Рис. 34

Рассмотрим в пространстве кривую . Тогда

В ,

причём, , т.к. мы рассматриваем случай обыкновенной точки.

Векторы и направлены по касательным к соответствующим координатным линиям. Т.к. , то . Сравнивая это с , видим, что вектор , направленный по касательной к кривой, компланарен векторам и , т.е. лежит в плоскости, образованной этими векторами.

Если через точку М поверхности провести всевозможные кривые на поверхности, то касательные к ним, проходящие через точку М, будут лежать в одной и той же плоскости, содержащей векторы и . Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности.

Из можно получить , если считать, что . Множитель не влияет на направление касательной. Векторы и зависят лишь от выбора точки М на поверхности. Т.о. выбор кривой на поверхности определяется лишь отношением (или , если ). В силу в точке касания.

Верно и обратное, т.е. направление касательной (т.е. направление вектора ) определяет этот вектор с точностью до постоянного множителя, т.е. с точностью до отношения . Т.о. это отношение направлением вектора определяется однозначно.

Итак, касательная плоскость проходит через векторы и , значит она ортогональна их векторному произведению .

Оно отлично от нуля, т.к. мы предполагаем, что  . Произведение указывает направление нормали к поверхности в рассматриваемой точке. Само уравнение касательной плоскости запишется в виде . Прямая же, проходящая через вектор нормали, будет удовлетворять уравнению .

§3. Первая основная квадратичная форма

Как и в случае кривых, мы будем изучать поверхности в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки. Из рассматриваемой точки M(u,v) сместимся в бесконечно близкую точку М по некоторой кривой (см. рис. 35), определяемой уравнениями . Тогда , , – дифференциал вдоль рассматриваемой кривой. Найдём дифференциал дуги ds кривой, от-

Рис. 35

вечающей смещению ММ : . Тогда или, раскрывая скобки, . Если обозначить скалярные произведения в правой части через ,

мы получим:

.

Выражение называется первой квадратичной формой на поверхности. В теории поверхностей она играет большую роль. Эта формула выражает квадрат дифференциала дуги ds при бесконечно малом смещении по поверхности. При этом коэффициенты квадратичной формы определяются в точке M(u,v), из которой мы выходим, а дифференциалы du и dv отвечают данному смещению. Т.о. первая квадратичная форма служит для измерения бесконечно малых дуг на поверхности. В частности длина дуги на поверхности с точностью до бесконечно малых второго порядка может быть вычислена по формуле .

Если же нам нужно знать точное значение длины дуги на поверхности, нужно использовать инструменты, полученные в курсе математического анализа. Там была выведена формула:

.

С помощью первой квадратичной формы можно измерять углы между кривыми (см. рис. 36). Пусть две кривые пересекаются в точке М, – дифференциалы вдоль кривой С1, , – дифференциалы вдоль С2. Тогда угол между кривыми (точнее, между касательными и ) можно найти по формуле или

Рис. 36

. Заменив в знаменателе ds и s по , получим: . В частности, для нахождения угла между координатными линиями u=const и v=const из получаем формулу , ибо вдоль линии u=const , вдоль v=const . Знак  в формуле указывает, что в качестве  мы можем взять любой из смежных углов.