§10. Натуральные уравнения кривой
В настоящем параграфе мы ответим на вопрос: нельзя ли характеризовать геометрическую форму пространственной кривой уравнениями, вид которых не зависел бы от выбора системы координат в пространстве?
Пусть кривая задана уравнением , у неё нет точек распрямления, т.е. k0. Тогда
Естественно, длина дуги s, кривизна k и кручение не зависят от выбора системы координат в пространстве. Т.е. функциональный вид формул от выбора системы координат не зависит. Уравнения называются натуральными уравнениями кривой.
Не вдаваясь в подробности, сформулируем основную теорему данного параграфа.
Чтобы кривые С1 и С2 отличались лишь положением в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы их натуральные уравнения совпадали.
Без доказательства.
Из этой теоремы следует, что уравнения решают задачу, поставленную в настоящем параграфе.
Гл. V. Введение в теорию поверхностей §1. Криволинейные координаты на поверхности
Неявное уравнение
поверхности имеет вид
.
Точка поверхности
называется обыкновенной,
если в ней
выполнено
.
Тогда, согласно теории неявных функций,
вблизи такой точки, если, например,
,
уравнение можно разрешить относительно
z:
.
Но нам в дальнейшем будет удобнее
работать с параметрическим
способом задания поверхности.
Пусть нам задана
вектор-функция, зависящая от двух
параметров u,
v,
меняющихся
в некоторой области
:
.
Вектор
откладывается
от начала координат, параметры u,
v
называются
криволинейными
координатами поверхности.
Когда u,
v
меняются в
области
,
вектор
описывает некоторую поверхность в
пространстве. В этом случае говорят,
что уравнение есть параметрическое
задание поверхности.
Пусть вектор-функция
имеет частные производные:
причём
.
В координатном виде это означает, что
строки матрицы
не пропорциональны, т.е. хотя бы один
определитель, состоящий из элементов
этих строк, отличен от нуля. Пусть это
определитель
.
В этом случае уравнения
можно однозначно разрешить относительно
u
и v:
Найденные значения u,
v
можно подставить в
:
,
т.е. мы получили выражение .
Итак, условие гарантирует, что в окрестности рассматриваемой точки поверхность будет обыкновенной, т.е. каждой паре значений (х,у) будет соответствовать одно значение z – это простой кусок поверхности.
В дальнейших наших исследованиях мы будем интересоваться поведением поверхности лишь вблизи её заведомо обыкновенных точек. Т.е. для рассматриваемого куска поверхности существует взаимно однозначное соответствие между точками поверхности и некоторой областью изменения параметров (u, v).
Параметры u, v называются криволинейными координатами поверхности5). В общем случае они никакого геометрического смысла не имеют. Их цель – отмечать точки поверхности с помощью закона . В выборе параметров u, v имеется широкий произвол, и мы должны уметь отделять факты, относящиеся к самой поверхности, от случайных данных, связанных с выбором координат u, v.