§6. Соприкасающаяся окружность

Это окружность в пространстве, имеющая с данной кривой в заданной точке касание порядка . Т.е. у нас выполнено , . Если предположить, что такая окружность имеется, то по лемме 2 предыдущего параграфа вектор одинаков по направлению и обратен по модулю с вектором , т.е.

М Рис. 32

(мы предполагаем, что ).

Т.о. центр соприкасающейся окружности определяется равенством . Но тогда , т.е. радиус соприкасающейся окружности , а центр её (точка С) лежит на главной нормали кривой в заданной точке М.

Вывод. Главная нормаль и касательная к нашей кривой должны лежать в плоскости соприкасающейся окружности, следовательно, сама соприкасающаяся окружность должна лежать в соприкасающейся плоскости.

Геометрический смысл соприкасающейся окружности: в окрестности точки М эта окружность с ошибкой заменяет кривую. Её (соприкасающуюся окружность) можно рассматривать как аппроксимацию сложной кривой элементарной кривой в окрестности рассматриваемой точки.

Центр С соприкасающейся окружности называется центром кривизны, а её радиус – радиусом кривизны рассматриваемой кривой.

§7. Кривизна пространственной кривой

Скорость вращения касательного вектора в данной точке кривой по отношению к пути пройденному по кривой, называется кривизной k в данной точке, т.е. . По лемме 2 гл. II , откуда для k получим . Используя формулу , можно

Рис. 33

получить .

Если у нас точка распрямления, то в силу того, что для неё , имеем для этой точки . Отсюда следует легко доказываемое утверждение: чтобы кривая была прямой, необходимо и достаточно, что её кривизна в каждой точке была равна нулю.

Доказать самим.

§8. Формулы Френе. Кручение

Формулы Френе для пространственной кривой описывают вращение сопровождающего трёхгранника при движении вдоль этой кривой.

Пусть нам задана кривая векторным уравнением , причём k 0. Тогда векторы будут функциями длины дуги, т.е. . выражают векторы через векторы .

Мы уже знаем, что и он направлен вдоль т.е. . Это первая из формул Френе.

Тогда первое слагаемое равно 0, т.к. векторы и коллинеарны, поэтому Но , поэтому . Тогда векторное произведение коллинеарно т.е. ,

– некоторый коэффициент, который называется кручением кривой. есть третья из формул Френе.

Получим теперь вторую формулу Френе. . Из последнего равенства имеем: Воспользуемся формулами и : . Используя формулы , получим вторую формулу Френе: .

Сводка всех формул выглядит так:

§9. Формулы для вычисления кривизны и кручения

Цель исследования настоящего параграфа – найти связь между векторами величинами с функцией и её производными. Мы знаем, что .

Тогда из первой формулы Френе получим: .

Продифференцируем: или Из полученной системы найдём . Из получаем . Вставляя в , найдём . Перемножим векторно почленно и и учтём, что : . Отсюда, используя , найдём .

Итак, векторы мы нашли (формулы , , ). Найдём теперь k и . Перемножим скалярно почленно и . Учитывая, что , получим: . С учётом отсюда можно найти .

Обычно задаётся в виде . Тогда

и формулы для вычисления примут вид:

Итак, если у нас , мы получили формулы для нахождения как так и . На практике часто вектор-функция задана как функция произвольного параметра, т.е. . Поэтому нужно уметь переходить от старого параметра (р) к новому , если нам известна связь . Для этого найдём предварительно производные по новому параметру (штрихами обозначим производные по р):

Тогда векторное произведение будет равно , т.к. , а смешанное — . Остальные члены при перемножении исчезнут, ибо будут иметь нулевые сомножители.

Пусть теперь , а р – произвольный параметр. Тогда , .

Из получаем: , и

.

Известно, что , поэтому, взяв в обе части по модулю, получим для k формулу . Подставив эту формулу в , найдём кручение: .

В более важном для практики координатном виде эти формулы выглядят более громоздко:

,

.

Замечание. В плоском случае, когда , формула упрощается. В этом случае , что и было получено в предыдущей главе.