§4. Сопровождающий трёхгранник

Нормаль к данной кривой в данной точке, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью (на рис. 27 вектор ). Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью (на рис. 28 вектор ). Т.о. касательную, нормаль и бинормаль можно рассматривать как орты декартовой прямоугольной системы координат с началом в точке М. Роль же координатных плоскостей

Спрямляющая плоскость Рис. 28

в этом случае играют:

а) соприкасающаяся плоскость (векторы и ),

б) нормальная плоскость (векторы и ),

в) спрямляющая плоскость (векторы и ).

Совокупность вышеназванных трёх координатных осей трёх плоскостей, построенных в каждой точке кривой, называют сопровождающим трёхгранником.

Составим уравнения каждого из элементов трёхгранника. Пусть кривая задана уравнением . Тогда уравнение касательной имеет вид или .

Уравнение нормальной плоскости принимает вид

.

Эти уравнения были получены ранее, в §1.

Составим теперь уравнение соприкасающейся плоскости. Векторы и лежат в этой плоскости. Поэтому векторное произведение перпендикулярно этой плоскости.

Т.к.  , то .

Тогда уравнение соприкасающейся плоскости будет иметь вид:

.

Здесь, как и ранее, X,Y,Z – текущие координаты. Уравнение соприкасающейся плоскости можно записать и в векторном виде: , где – радиус-вектор, описывающий соприкасающуюся плоскость, – радиус-вектор кривой. Последнюю формулу можно переписать в виде смешанного произведения или в виде определителя третьего порядка .

Составим теперь уравнение бинормали. Т.к. это вектор, перпендикулярный соприкасающейся плоскости, то его можно записать в виде или .

Главная нормаль определяется векторным произведением: . Каждый из сомножителей в этой формуле можно выразить через . Тогда получим: .

Итак, единичные орты сопровождающего трёхгранника есть векторы , и . Если их рассмотреть как функции длины дуги s, то это будет:

Т.о. векторы , и образуют правую тройку векторов.

§5. Леммы об окружностях.

Пусть в системе координат Оху задан вектор . С изменением  вектор поворачивается вокруг точки О. Продифференцируем последнее равенство: , т.е. . Мы доказали лемму 1:

 1 Х Рис. 29

Производная единичного вектора по  равна исходному вектору, повёрнутому на угол против часовой стрелки.

Рассмотрим теперь окружность произвольного радиуса R. В качестве параметра будем использовать длину дуги, откладывая её от точки М0. Тогда длина дуги М0М будет равна , откуда . Радиус-вектор точки М будет равен . Тогда ,

 М М0 Рис. 30

Из геометрических соображений видно, что вектор направлен противоположно вектору и равен

.

Из формул и следует лемма 2: векторы и одинаковы по направлению и взаимно обратны по модулю, т.е. .

Замечание. Лемма остаётся справедливой и тогда, когда из произвольной точки А, не совпадающей с центром окружности О. В этом случае и по-прежнему , т.к. .

М О Рис. 31