Содержание

2

Введение 2

Гл. I. Сведения о кривых на плоскости 2

§1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой 2

§2. Строение кривой в окрестности обыкновенной точки 3

§3. Строение кривой вблизи особых точек 5

§4. Огибающая семейства кривых на плоскости 7

Гл. II. Дифференцирование вектор-функций. 10

§1. Основные определения 10

§2. Обыкновенная точка кривой 10

§3. Дифференциал вектор-функции 11

§4. Формула Тейлора для вектор-функции 13

§5. Длина дуги 13

§6. Касание кривых 14

Гл. III. Теория кривизны плоских кривых 15

§1. Соприкасающаяся окружность 15

§2. Кривизна плоской кривой 17

§3. Векторы 17

§4. Формулы Френе 18

Гл. IV. Теория кривизны пространственных кривых 19

§1. Касательные и нормали 19

§2. Точки распрямления 21

§3. Соприкасающаяся плоскость 21

§4. Сопровождающий трёхгранник 22

§5. Леммы об окружностях. 24

§6. Соприкасающаяся окружность 25

§7. Кривизна пространственной кривой 25

§8. Формулы Френе. Кручение 26

§9. Формулы для вычисления кривизны и кручения 26

§10. Натуральные уравнения кривой 28

Гл. V. Введение в теорию поверхностей 28

§1. Криволинейные координаты на поверхности 28

§2. Кривые на поверхности 29

§3. Первая основная квадратичная форма 30

§4. Вычисление площади поверхности 31

§5. Вторая квадратичная форма на поверхности 33

§6. Основная формула для кривизны кривой на поверхности 34

§7. Теорема Менье 35

§8. Линейная вектор-функция на плоскости. Собственные функции и собственные числа 35

§9. Главные направления вектор-функции 37

§10. Исследование кривизны нормальных сечений 37

§11. Формула Эйлера. Главные кривизны 38

§12. Вычисление главных кривизн и главных направлений 39

§13. Три типа точек на поверхности 40

§14. Формулы для вычисления коэффициентов квадратичных форм 41

§15. Линии кривизны 43

§15. Асимптотические линии 43

Гл. VI. Внутренняя геометрия поверхности 45

§1. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности 45

§2. Деривационные формулы первой группы 46

§3. Теорема Гаусса 47

§4. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности 48

§5. Вычисление геодезической кривизны 49

§6. Геодезические линии на поверхности 50

§7. Векторы на поверхности 51

§8. Свойства параллельного перенесения 53

§9. Полугеодезическая система координат 54

Литература 56

Введение

В аналитической геометрии каждой точке (x,y,z) пространства ставится в соответствие три числа: , каждой поверхности в пространстве – уравнение , каждой кривой в пространстве – система уравнений

Благодаря этому геометрические факты можно перевести на язык алгебры, а геометрические задачи можно решать алгебраическими методами, после чего полученный результат обратно истолковывается на геометрическом языке. Т.о. мы получаем мощный алгебраический аппарат для решения геометрических задач.

Можно поступить и по-другому: для решения геометрических задач привлечь идеи математического анализа. Тогда мы получим новую область для исследования, которая называется дифференциальной геометрией. Т.о. дифференциальная геометрия – раздел геометрии, изучающий геометрические образы методами математического анализа. В отличие от элементарной и аналитической геометрий, здесь исследуются кривые и поверхности вообще, лишь бы их можно было задать уравнениями. Здесь изучаются свойства геометрических образов, которые присущи сколь угодно малой их части. Такие свойства называются дифференциальными. Наш курс, в основном, и посвящён этой части дифференциальной геометрии. И лишь в конце курса мы коснёмся одного из новых направлений дифференциальной геометрии – так называемой внутренней геометрии поверхностей, где изучаются свойства геометрических образов, не меняющиеся при преобразованиях пространства.

Гл. I. Сведения о кривых на плоскости §1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой

Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению , называется кривой (рис. 1). Простой отрезок кривой – геометрическое место точек, координаты которых хотя бы в одной прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению , (см. рис. 2).	x А Рис. 1
Точка М называется обыкновенной точкой кривой, если существует прямоугольник, содержащий эту точку, в окрестности которой часть кривой, заключённой в этот прямоугольник, будет простым отрезком кривой (точка С на рис. 1). Если такого прямо-угольника не существует, точка называется особой (точки А и В на рис. 1). Теорема. Если в точке справедливо неравенство , то точка А – обыкновенная.	х a b Рис. 2

Доказательство. Пусть для определённости . Т.к. точка А лежит на кривой, то . Из теоремы о существовании неявной функции следует, что существует прямоугольник, содержащий внутри себя точку А такой, что внутри этого прямоугольника уравнение можно представить в виде (т.е. можно однозначно разрешить относительно у). Т.o. этот прямоугольник вырезает из нашей кривой простой отрезок этой кривой. Отсюда следует, что точка А – обыкновенная.

Замечание. Если у нас , но , то можно представить в виде — также простой отрезок кривой.

Условие является достаточным признаком обыкновенной точки. Но не является необходимым. Например, рассмотрим кривую, заданную уравнением . Это парабола. Точка лежит на параболе. Она, очевидно, является обыкновенной, т.к. . Умножим обе части уравнения параболы на выражение . Уравнение примет вид: . Точка по-прежнему останется обыкновенной, но в этой точке уже .