?Вопросы для самопроверки
1.Дайте определения локального экстремума функции.
2. Может ли функция иметь несколько локальных экстремумов?
3. Может ли локальный максимум некоторой функции оказаться меньше какого-то локального минимума этой же функции?
4. Сформулируйте теорему, выражающую необходимое условие локального экстремума. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
5. Какие точки называются точками возможного экстремума функции?
6. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие локального экстремума.
7. Дайте определение направления выпуклости графика функции.
8. Сформулируйте теорему, с помощью которой решается вопрос о направлении выпуклости графика функции.
9. Дайте определение точки перегиба графика функции.
10. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба графика функции. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
11. Какие точки называются критическими?
12. Сформулируйте достаточное условие точки перегиба графика функции.
13. Может ли функция иметь экстремум в точке перегиба графика функции?
14. Дайте определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот. Приведите примеры.
15. Докажите следующее утверждение: Если прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x , существуют пределы
и, обратно, если оба предела существуют, то прямая y=kx+b, является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x .
16.Приведите схему построения графика функции.
Контрольные задачи к разделу
Проведите полное исследование следующих функций и постройте их графики:
2.3.1.
y=
(x-10
;
2.3.
2.
;
2.3.3.
y=
;
2.3.4.
y=
;
2.3.5.
y=
;
2.3.6.
y=
;
2.3.7.
y=
;
2.3.8.
y=
;
2.3.9.
y=
;
2.3.10.
y=(x+1)
2.3.11.
y=
;
2.3.12.
y=
;
2.3.13.
y=(x+1
Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной
Основные теоретические положения раздела
Основные свойства неопределенного интеграла
1.
и
2.
или
3.
4.
Таблица основных интегралов
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
Основные методы интегрирования
1.Непосредственное интегрирование
Пример
1.
Вычислить интеграл
Решение. Применив свойства и
имеем
Далее, используя соответственно формулы VIII, I, II, III таблицы основных интегралов, находим
,
;
.
Таким образом,
Обычно
все произвольные постоянные суммируют,
результат обозначается одной буквой:
, поэтому окончательно получаем:
Правильность полученного результата легко проверить дифференцированием. (Сделайте это самостоятельно)
2.Метод подстановки
Теорема.
Пусть
функция
определена и дифференцируема на некотором
промежутке T
и пусть X
- множество значений этой функции, на
котором определена функция
,
т.е. на Tопределена
сложная функция
Тогда если на множестве X
функция
имеет первообразную F(x),
то справедлива формула
(1)
Пример
2. Вычислить
интеграл
Решение.
Интеграл
не табличный, хотя и напоминает интеграл
Поэтому для его вычисления естественно
сделать подстановку, полагая
тогда
По формуле (1) получаем
табличный
интеграл. Применяя формулу VIII
таблицы основных интегралов, находим
Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем
Данный
интеграл можно вычислить и непосредственно,
заменив
dx
через
,
т.е. внося под знак дифференциала
множитель 3
и разделив на него интеграл. В результате
получаем
Здесь применена подстановка t=3x. Этот экономный и простой прием будет неоднократно использован в дальнейшем.