7. При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при X→0:
x,
1
,
x,
x,
x
x,
1
x
•
(в частности,
x),
.
8. Операции над пределами функций
Пусть
функции ⨍(x)
и
(x)
определены в некоторой окрестности
точки
и, кроме того,
=
A,
=
= B.
Тогда:
=
A
B
=
A • B
=
( при условии B≠0)
=
Тема 2.1. Функции, пределы, непрерывность
1) Написание рефератов, докладов
- Непрерывность некоторых элементарных функций
?
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте определение непрерывности функции в точке .
В чем различие между понятиями непрерывности функции и пределов функции в точке ?
Почему из непрерывности функции слева и справа в точке следует непрерывность функции в этой точке? На основании какой теоремы?
Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями.
Докажите, что функция f(x)
непрерывна
в любой точке x.Почему можно утверждать, что функция f(x)=
непрерывна
на всей числовой прямой?Какие точки называются точками разрыва функции?
Дайте определения точек разрыва первого и второго рода.
Укажите, в какой точке и какого рода разрыв имеет функция f(x)=
.
Исследовательская работа. Решение задач
Некоторые нестандартные ситуации при вычислении пределов функций.
Упражнения.
Найдите:
1.
.
(Отв. 10.)
2.
.
(Отв.
.)
3.
.
( Отв. 1.)
4.
.
(Отв.
.)
5.
.
(Отв.
.)
6.
.
(Отв.
.)
7.
.
(Отв.
12.)
8.
.
(Отв.
1.)
9.
.
(Отв. 4.)
10.
.
(Отв. 2.) 11.
.
(Отв.
.)
12.
.
(Отв. 14.) 13.
.
(Отв.
.)
14.
.
(Отв. 9.) 15.
.
( Указание: сделать подстановку x-1=y.) (Отв. 3.)
16.
.
(Отв.
.)
17.
.
(Отв. 3.)
18.
.
(Отв.
.)
19.
(
).
(Отв. 3.)
20.
(
).
(Отв.
.)
21.
(x
).
(Отв.
.)
22.
(x
).
(Отв.
0.) 23.
x
ctg
x.
(Отв.
1.)
24.
sin
.
(Отв.
X.)
25.
(x
).
(Отв.
Контрольные задачи к разделу
Найдите пределы:
2.1.1.
(5
+2x-1).
2.1.
2.
.
2.1.3.
.
2.1.4.
.
2.1.5.
.
2.1.6.
.
2.1.7.
.
2.1.8.
.
2.1.9.
.
2.1.10.
.
2.1.11.
.
2.1.12.
.
2.1.13.
.
2.1.14.
.
2.1.15.
.
2.1.16.
.
2.1.17.
.
2.1.18.
.
2.1.19
.
2.1.20.
.
2.1.21.
(
2.1.22.
x).
Найдите пределы (Указание: воспользоваться сведением к первому замечательному пределу)
2.1.23.
2.1.24.
.
2.1.25
.
2.1.26.
.
2.1.27.
.
2.1.28.
.
2.1.29.
x
ctgx.
2.1.30.
.
Найдите пределы (Указание: воспользоваться сведением ко второму замечательному пределу):
(1+
,
k
R;
2.
1. 32.
;
(
2.
1. 34.
.
? Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте два определения предела функции. Что означает эквивалентность этих определений?
2.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.
3.При каких условиях из существования предела функции и наоборот?
4.Существует ли ?
5.Сформулируйте
два определения предела функции при x
6.Докажите, что x не существует.
7.Что
означает записи: x
,
x
-,
x
+,
x
,
x
и
x
?
8.В каких случаях говорят о наличии неопределенности вида или ?
9.Что означает слова «неопределенность раскрыта»?
10.Почему
x
при x
?
11.Сформулируйте теоремы о пределах функций.
12.Докажите первый и второй замечательные пределы.
13.Сформулируйте определение бесконечно малой функции и бесконечно большой. Приведите примеры.
14.Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функцией?
15.Что
означают записи:
f(x)=+
,
f(x)=+
?Дайте
соответствующие определения.
16.Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями?
17.В каких случаях говорятся о наличии неопределенности вида или ?
Основные теоретические положения
Таблица производных элементарных функций
№ п/п |
Формула |
№ п/п |
Формула |
1
2
3
4
5
6
7
8
9 |
(
(
(
(
(
(
)
=
(tg
x)
=
(ctg
x)
=
|
10
11
12
13
14
15
16
17
18 |
(arcsin
x)
=
(arccos
x)
=
(arctg
x)
=
(arcctg
x)
=
(sh x) = ch x
(ch x) = sh x
(th
x)
=
(cth
x)
=
|
)
=
)
=
)
=
)
=
)
=
(
x +
)
=
Правила дифференцирования
№ п/п |
Формула |
№ п/п |
Формула |
1 |
C = 0 |
4 |
(
uv)
= u
v
u |
2 3 |
( Cu) = Cu ( u v) = = u v |
5 |
|
v
=
Геометрический смысл производной
Производная функции ⨍(x) в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции ⨍(x) в точке М( ; ⨍( ))
Правило
дифференцирования сложной функции:
пусть
функция u=u(x)
имеет
производную в точке
,
а
функция
y=⨍(u)
- производную
в точке
=u(
).
Тогда сложная функция y=⨍(u(x))
имеет
производную в точке
,
которая равна y
(
)=⨍
(
)
u
(
).
Пример
1. Найти
производную функции y=
▲ Начинаем с последней операции: находим
производную синуса, при этом аргумент
синуса переписываем и затем умножаем
на производную аргумента y
=
.
▲
Пример
2.
Найти производную функции y=
(
). ▲ Начинаем с конца: сначала находим
производную степени, затем -
производную
тангенса и наконец
производную
корня, при этом каждый раз аргумент
переписываем y
=3
(
)
(1/2)
=
. ▲
Общая схема исследования функции y=⨍(x) и построения ее графика:
1.Находим область определения функции D(⨍) и записываем ее в виде объединения интервалов с тем, чтобы была видна граница области определения.
2. Выясняем, является ли эта функция четной, нечетной или общего вида. Если функция периодическая, то находим ее наименьший период;
3.Определяем точки, в которых функция равна нулю, а также интервалы, на которых функция положительна (отрицательна).
4. Находим точку пересечения с осью OY.
5. Определяем промежутки, на которых функция непрерывна.
6. Исследуем поведение функции на границе области определения и находим уравнения асимптот, если они есть (желательно построить первичный эскиз графика, располагая только информацией, полученной без производных).
7.Находим первую производную функции и с ее помощью определяем точки экстремума, а также промежутки, на которых функция возрастает (убывает).
8. Вычисляем вторую производную функции и с ее помощью определяем точки перегиба и интервалы выпуклости вверх (вниз).
9. С учетом всей информации строим график функции, внося соответствующие изменения в первичный эскиз графика.