2009/2010 Учебный год. Все варианты.

Задача 1. Пусть – корни многочлена . Вычислить определитель матрицы .

Вариант 1: . Вариант 2: . Вариант 3: . Вариант 4: . Вариант 5: .

Решение. Заметим, что матрица раскладывается в произведение матриц:

Значит, ее определитель равен произведению определителей сомножителей. Поскольку второй сомножитель – это просто транспонированный первый, определители сомножителей будут равны. Поэтому:

Вариант 1. Заметим, что . Значит, .

Тогда .

Вариант 2. Заметим, что . Значит, .

Тогда .

Вариант 3. Заметим, что . Значит, .

Тогда .

Вариант 4. Заметим, что . Значит, .

Тогда .

Вариант 5. Заметим, что . Значит, .

Тогда .

Задача 2. В четырехмерном вещественном аффинном пространстве с некоторой декартовой системой координат даны прямая , точка и плоскость . Прямая проходит через точку и имеет общие точки с прямой и плоскостью . Найдите расстояние между этими общими точками.

Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3.

Вариант 4.

P=(1,3,2,3); L={(2u1, 3u+5,u2,u2)|u }; S={(b,a+3,a3,3)|a,b }

Вариант 5. P=(3,3,2,3); L={(u2,3u+5, 2u+2,u3)|u }; S={(3,a+3, b+1,a2)|a,b }

Решение. Вариант 1. Прямая проходит через точку с направляющим вектором . Поэтому . Чтобы эта прямая имела общие точки с плоскостью система

должна быть совместна относительно переменных . По теореме Кронеккера-Капелли должно выполняться равенство:

При , не может быть равен 4 (потому что столбцов в матрице меньше 4). Следовательно, система может быть совместной лишь при .

Для того, чтобы прямая имела общую точку с прямой , должна быть совместна система:

Совместность этой системы равносильна тому, что , первый из рангов, очевидно равен 2 (т.к вектор ненулевой), а второй равен двум в случае: . Таким образом, направляющим вектором прямой можно считать вектор . Получаем, что точка пересечения и равна . А общая точка и равна .

Расстояние между точками и найти не трудно.

Варианты 2-5. Решение аналогично варианту 1. Ответ во всех вариантах

2008/2009 Учебный год. Все варианты.

Задача 1. Ортогональная вещественная матрица со свойством называется большим отражением. а) Разложите ортогональную матрицу на произведение больших отражений; б) Какое наименьшее количество больших отражений необходимо для разложения матрицы ?

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Решение для варианта 1. Давайте разберемся, что такое большое отражение. Если , значит 1 – собственное число матрицы кратности . Остается только одно собственное число. Оно не может быть комплексным (так как комплексные числа появляются в паре со своими сопряженными). Поэтому оставшееся собственное число .

Поэтому произвольное большое отражение имеет вид

, где – некоторая ортогональная матрица.

Большое отражение меняет направление последнего вектора в матрице , а остальные вектора из матрицы оставляет неизменными.

Перейдем непосредственно к задаче из варианта 1.

Проверим, является ли 1 собственным числом матрицы .

Таким образом, 1 собственное число кратности 2. Канонический вид матрицы будет . Поскольку у подобных матриц одинаковый след, получаем . Поэтому матрица соответствует повороту на угол . Из курса геометрии мы знаем, что поворот есть композиция двух симметрий, оси которых под углом . (Заметим, что ; косинус положителен, потому что можно взять угол поворота меньше ) Найдем плоскость поворота .

Для этого найдем множество собственных векторов для 1. А плоскость поворота будет ортогональна к .

Поскольку собственные вектора для удовлетворяют системе уравнений

Поэтому плоскость натянута на вектора , , , . Вычеркнув лишнее, получаем, что натянута на вектора , . Надо взять любые два вектора из этой плоскости под углом . Относительно них провести отражение и получится как раз поворот, который задает матрица . Один вектор пусть будет . Значит, второй вектор будет .

Надо выбрать , чтобы косинус угла был положителен.

Итак, надо произвести две симметрии: одна изменяет на противоположное направление вектора ; вторая -- вектора .

Вектор дополняем до ортонормированного базиса пространства. Получаем, что большое отражение относительно вектора выглядит так:

Произведя вычисления, получаем:

Вектор дополняем до ортонормированного базиса всего пространства; получаем, что большое отражение для вектора выглядит так:

Произведя вычисления, получаем:

Заметим, что . (Если необходимо, это можно проверить прямыми вычислениями).

Ответ на вопрос б): очевидно, что минимальное количество равно 2, так как сама матрица большим отражением не является, а пример, когда исходная матрица раскладывается в произведение 2 больших отражений, мы привели.

Ответы. Вариант 2. Вариант 3. (см.вариант 2). Вариант 4. Вариант 5. Вариант 6: исходная матрица уже большое отражение.

Задача 2. Обозначим через определитель -матрицы, на главной диагонали которой стоит число , на диагонали выше главной  число , а на диагонали ниже главной  число . Остальные места заняты нулями. Вариант 1. Найдите . Вариант 2. Найдите . Вариант 3. Найдите . Вариант 4. Найдите . Вариант 5. Найдите . Вариант 6. Найдите .

Решение для варианта 1. Разложим определитель по первой строке, а потом один из получившихся определителей – по первому столбцу. Получим возвратную формулу: .

В конкретном случае получаем .

Вычисляем первые члены: , . Подставляя эти значения в возвратную форму, получаем ; ; ; ; ; ; .

Ответы. Вариант 2 ответ 32; Вариант 3 ответ 10; Вариант 4 ответ 31; Вариант 5 ответ 11; Вариант 6 ответ 1.